Bethe-Ansatz

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Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann [2] und Natan Andrei[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann [4] und N. Kawakami, A. Okiji [5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante J ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in z-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen und angegeben als:

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der -Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher -Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz n:

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung . Mittels Koeffizientenvergleich findet man N linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten :

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen erfüllen, sind ebene Wellen:

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

Bethes Ansatz für die Koeffizienten sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden und :

Die Parameter und werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen und der Winkel folgende Gleichungen erfüllen müssen:

wobei die ganzen Zahlen Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

mit den Koeffizienten:

Die Summe läuft dabei über alle möglichen Permutationen der Zahlen . Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen , die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

angegeben werden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71, Nr. 3-4, 1931, S. 205-226. doi:10.1007/BF01341708.
  2. P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
  3. N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett.. 45, Nr. 5, August 1980, S. 379-382. doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
  4. P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80, Nr. 2-3, September 1980, S. 163-167. doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
  5. Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86, Nr. 9, 1981, S. 483-486. doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.