Cardanische Kreise

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Cardanische Kreise: Der blaue Kreis rollt in dem doppelt so großen schwarzen Kreis. Der Punkt P des blauen Kreises bewegt sich auf dem roten Durchmesser

Als Cardanische Kreise bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide, bei der der kleine (abrollende) Kreis halb so groß ist wie der große (feste) Kreis. (Der kleine Kreis rollt im Innern des großen Kreises.) Das Besondere dieser speziellen Hypozykloide ist: Jeder Punkt des Kreisbogens des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises. Dieser Zusammenhang wurde 1570 von dem italienischen Humanisten Gerolamo Cardano beschrieben. Es handelt sich hier um frühe Untersuchungen zu Zykloiden, die später von Galilei ausgeweitet wurden.

In der englischen Literatur nennt man diese spezielle Hypozykloide Tusi couple nach dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasir ad-Din at-Tusi des 13. Jahrhunderts.

Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cardanische Kreise: zum Beweis

Gegeben ist ein Kreis k (blau) mit Mittelpunkt M und Radius r, der in einem Kreis K (schwarz) mit Mittelpunkt O und dem doppelten Radius R=2r liegt und diesen im Punkt P berührt (s. Bild).

Dann gilt:

  • Beim Abrollen des kleinen Kreises im Innern des großen Kreises bewegt sich der am kleinen Kreis fixierte Punkt auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Zusatz: Jeder Punkt der Kreislinie des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Beweis:

Zum Beweis stellt man sich die Bewegung des Punktes in zwei Drehbewegungen zerlegt vor: 1) Drehung um den Punkt um den Winkel und 2) Drehung um den neuen Mittelpunkt des kleinen Kreises um den Winkel . Benutzt man komplexe Zahlen und ihre Darstellung als Gauß'sche Zahlenebene, so ist

und
.

Das Bild des Punktes (reelle Zahl !) ist dann:

.

Die Bahn des Punktes ist also das reelle Intervall (Durchmesser des großen Kreises.)

Hypozykloide: cardanische Kreise.

Technische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird der äußere Kreis innen verzahnt und der innere Kreis als Zahnrad ausgeführt, dann lässt sich mit Hilfe Cardanischer Kreise eine Rotationsbewegung in eine periodische geradlinige Bewegung umsetzen. Dieses Prinzip lag der Erfindung der Buchdruckschnellpressen von König & Bauer zugrunde.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]