Cardanische Kreise

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Cardanische Kreise: Der blaue Kreis rollt in dem doppelt so großen schwarzen Kreis. Der Punkt P des blauen Kreises bewegt sich auf dem roten Durchmesser

Als Cardanische Kreise bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide, bei der der kleine (abrollende) Kreis halb so groß ist wie der große (feste) Kreis. (Der kleine Kreis rollt im Innern des großen Kreises.) Das Besondere dieser speziellen Hypozykloide ist: Jeder Punkt des Kreisbogens des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeichnung Cardanische Kreise in einem Manuskript von Nasir ad-Din at-Tusi (13. Jahrhundert)

Die Himmelsscheibe von Nebra enthält einen Mechanismus ähnlich der cardanischen Kreise (in der Himmelsscheibe von Nebra finden sich Ellipsen anstelle von Kreisen).[1]

In der englischen Literatur nennt man diese spezielle Hypozykloide Tusi couple (Tusi-Paare[2]) nach dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasir ad-Din at-Tusi des 13. Jahrhunderts. Nasir ad-Din at-Tusi beschrieb die Cardanische Kreise in seinem Werk "Tahrir al-Majisti" aus dem Jahr 1247.[3] Der Begriff "Tusi couple" wurde aber erst 1966 von Edward Kennedy geprägt.

Der Zusammenhang dass jeder Punkt des Kreisbogens des kleineren Kreises sich auf einem Durchmesser des größeres Kreises bewegt wurde 1570 von dem italienischen Humanisten Gerolamo Cardano beschrieben.[4] Die deutschsprachige Benennung „Cardanische Kreise“ bezieht sich auf Gerolamo Cardano. Diese frühen Untersuchungen zu Zykloiden würden später von Galilei ausgeweitet.

Zeichnung aus "Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper"

Die Verbindung zwischen der Arbeit von Nasir ad-Din at-Tusi und den europäischen Gelehrten wird angenommen, jedoch konnte die Verbindung noch nicht sicher rekonstruiert werden. Auffallend ist, dass in den Arbeiten von Kopernikus (u.a. De revolutionibus orbium coelestium[5]) die Punkte phonetisch ähnlich benannt wurden wie in den Arbeiten von Tusi.[6][7]

Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cardanische Kreise: zum Beweis

Gegeben ist ein Kreis k (blau) mit Mittelpunkt M und Radius r, der in einem Kreis K (schwarz) mit Mittelpunkt O und dem doppelten Radius R=2r liegt und diesen im Punkt P berührt (s. Bild).

Dann gilt:

  • Beim Abrollen des kleinen Kreises im Innern des großen Kreises bewegt sich der am kleinen Kreis fixierte Punkt auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Zusatz: Jeder Punkt der Kreislinie des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Beweis:

Zum Beweis stellt man sich die Bewegung des Punktes in zwei Drehbewegungen zerlegt vor: 1) Drehung um den Punkt um den Winkel und 2) Drehung um den neuen Mittelpunkt des kleinen Kreises um den Winkel . Benutzt man komplexe Zahlen und ihre Darstellung als Gauß'sche Zahlenebene, so ist

und
.

Das Bild des Punktes (reelle Zahl !) ist dann:

.

Die Bahn des Punktes ist also das reelle Intervall (Durchmesser des großen Kreises.)

Hypozykloide: cardanische Kreise.

Technische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Animation Cardanische Kreise mit innen bzw. außen Verzahnung

Wird der äußere Kreis innen verzahnt und der innere Kreis als Zahnrad ausgeführt, dann lässt sich mit Hilfe Cardanischer Kreise eine Rotationsbewegung in eine periodische geradlinige Bewegung umsetzen.

Buchdruckpressen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Prinzip lag der Erfindung der Buchdruckschnellpressen von König & Bauer zugrunde.

Motoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

James White erhielt 1801 von Napoleon Bonaparte eine Medaille für einen Motor, der eine hypocykloidische Geradführungen verwendete. Nach Whites Entwurf wurden ein paar Motoren gebaut, der wirtschaftliche Erfolg blieb aber aus.[8][9][10]

Matthew Murray entwickelte einen hypocykloidischen Motor im Jahr 1802.[11][12]

Allgemein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der technischen Anwendung ist der Mechanismus auch als hypocykloidische Geradführung bekannt.[13][14]

In der Getriebesammlung von Franz Reuleaux finden sich zwei Modelle hypocykloidische Geradführungen.[15][16]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Cardanische Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. http://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/himmelscheibe-von-nebra/
  2. http://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/himmelscheibe-von-nebra/
  3. http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.2.html
  4. Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570
  5. Buch 3, Kapitel 4 bzw. [1]
  6. http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.2.html
  7. http://adsabs.harvard.edu/full/1973JHA.....4..128V
  8. http://www.mirrorservice.org/sites/gutenberg.org/2/7/1/0/27106/27106-h/27106-h.htm
  9. http://www.gutenberg.org/files/27106/27106-h/27106-h.htm
  10. https://books.google.de/books?id=HkEOAAAAYAAJ&pg=PA634&dq=James+White+engine+1801&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwim79vh75vRAhULKsAKHQXjCacQ6AEIHDAA#v=onepage&q=James%20White%20engine%201801&f=false
  11. http://www.pollymodelengineering.co.uk/sections/stationary-engines/anthony-mount-models/murrays-Hypocycloidal-Engine.asp
  12. http://dampfundmehr.de/im-bau/Hypocycloidal/hypo_7.htm
  13. http://de.academic.ru/dic.nsf/technik/9302/Geradf%C3%BChrung%2C_hypocykloidische
  14. http://www.zeno.org/Lueger-1904/A/Geradf%C3%BChrung,+hypocykloidische
  15. http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=137
  16. http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=278