Ellipse

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Dieser Artikel behandelt die geometrische Figur der Ellipse, zu anderen Bedeutungen siehe Ellipse (Begriffsklärung). Nicht zu verwechseln mit der elliptischen Kurve.
Ellipse mit Mittelpunkt , Brennpunkten und , Scheitelpunkten , Hauptachse (rot) und Nebenachse (grün)
Eine Ellipse (rot) als Schnitt einer geneigten Ebene mit einem Kegel
Ellipse als Kegelschnitt.
Die Mittelachse des Kegels ist soweit geneigt, dass die Schnittebene einer vertikalen Linie entspricht; damit zeigt sich in der Seitenansicht von rechts die Ellipse in wahrer Größe.
Die Saturnringe erscheinen elliptisch.

Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale Kurve. Sie zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Die Ellipse (von griechisch ἔλλειψις élleipsis ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.)[1] eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität .[2]

Inhaltsverzeichnis

Definition einer Ellipse als geometrischer Ort[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schnittkurve zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kegel zu bezeichnen (s. 1. Bild) oder als affines Bild des Einheitskreises.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten und gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit bezeichnet. Die Punkte und heißen Brennpunkte:

Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass größer als der Abstand der Brennpunkte ist. Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist ein Kreis mit Radius . Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.
Der Mittelpunkt der Strecke heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch die Nebenachse. Die beiden Ellipsenpunkte auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel. Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist und heißt die große Halbachse. Die beiden Ellipsenpunkte auf der Nebenachse sind die Nebenscheitel und ihr Abstand zum Mittelpunkt die kleine Halbachse. Den Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die lineare Exzentrizität und die numerische Exzentrizität. Anhand des Bildes erkennt man, dass gilt.

Ellipse: Definition mit Leitkreis

Die Gleichung kann man auch so interpretieren: Wenn der Kreis um mit Radius ist, dann ist der Abstand des Punktes zum Kreis gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt :

heißt Leitkreis der Ellipse bzgl. des Brennpunktes . Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der Leitlinieneigenschaft einer Ellipse (s. unten).

Mit Hilfe Dandelinscher Kugeln beweist man, dass gilt:

  • Jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die nicht die Kegelspitze enthält und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse.

Ellipse in kartesischen Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die x-Achse die Hauptachse ist und

die Brennpunkte die Punkte ,
die Hauptscheitel sind,

so ergibt sich für einen beliebigen Punkt der Abstand zum Brennpunkt als und zum zweiten Brennpunkt . Also liegt der Punkt genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes Quadrieren und Verwenden der Beziehung (s. o.) erhält man die Gleichung

  • oder nach y aufgelöst

sind die Nebenscheitel. Aus der Beziehung erhält man die Gleichungen

  • und

Daraus ergeben sich noch die Beziehungen

Ist , so ist und die Ellipse ein Kreis.
Ist , so ist , und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form.

Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der x-Achse heißt auch in 1. Hauptlage. Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen dass und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der y-Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:

  • Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.

(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

Halbparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = ) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass

gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist .

Tangente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt zu bestimmen, ist, die Gleichung der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich

Berücksichtigt man , erhält man die Gleichung der Tangente im Punkt :

Oder in Vektorform:

Gleichung einer verschobenen Ellipse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt ist ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:

Parameterdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen beschreibt

die Ellipse

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnen angegeben.

Mit der Substitution und trigonometrischen Formeln erhält man

und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:

Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt wird durch

beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brennpunkteigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Brennpunkt (Geometrie)
Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass

  • der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet.

Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten nennt man konfokal. Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten . Zwei konfokale Ellipsen haben keinen Schnittpunkt (s. Definition einer Ellipse).

Beweis:

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:

Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen
  • Der Außenwinkel der Brennstrahlen in einem Ellipsenpunkt wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei der Punkt auf der Geraden mit dem Abstand zum Brennpunkt ( ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen . Um nachzuweisen, dass die Tangente ist, zeigt man, dass auf kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass

gilt. Dies bedeutet, dass ist. Wenn ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich sein.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Direktrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse mit Leitlinien

Für eine echte Ellipse, d. h. , bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

Es ist

Der Beweis für die Ellipse mit der Gleichung und das Paar folgt aus der Tatsache, dass und die Gleichung

erfüllen. Den 2. Fall beweist man analog.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):

  • Für einen Punkt (Brennpunkt), eine Gerade (Leitlinie) nicht durch und eine reelle Zahl mit ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt und der Geraden gleich ist, eine Ellipse:

Die Wahl , also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.

Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter

Beweis:

Es sei und ein Punkt der Kurve. Die Leitlinie hat die Gleichung . Mit und der Beziehung ergibt sich

und

Die Substitution liefert

Dies ist die Gleichung einer Ellipse () oder einer Parabel () oder einer Hyperbel (). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für führt man neue Parameter ein, sodass ist. Die obige Gleichung wird dann zu

was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt , der x-Achse als Hauptachse und den Halbachsen ist.

Allgemeiner Fall:

Für den Brennpunkt und die Leitlinie erhält man die Gleichung

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Gerade zu berechnen.

Konjugierte Durchmesser[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser . Man nennt den zu konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser überein. Der zu einer Achse konjugierte Durchmesser ist die andere Achse. Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind orthogonal.

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normaler Weise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)

Orthogonale Tangenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Orthoptische Kurve

Für die Ellipse liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis .

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Pol-Polare-Beziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Ellipse kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung beschrieben werden. Die Gleichung einer Tangente in einem Punkt an die Ellipse ist Lässt man zu, dass ein beliebiger vom Ursprung verschiedener Punkt ist, dann wird

  • der Punkt auf die Gerade abgebildet, die den Mittelpunkt der Ellipse nicht enthält.

Diese Punkt-Gerade-Beziehung ist eine Bijektion.

Ellipse: Pol-Polare-Beziehung

Die inverse Funktion bildet die

  • die Gerade auf den Punkt ab und
die Gerade auf den Punkt

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man Pol-Polare-Beziehung oder einfach Polarität. Dabei ist der Punkt der Pol und die Gerade die Polare. Siehe Pol und Polare.

Durch Nachrechnen überzeugt man sich von den folgenden Eigenschaften einer Pol-Polare-Beziehung einer Ellipse:

  • Für einen Punkt (Pol) auf der Ellipse ist die Tangente in diesem Punkt die Polare (s. Bild: ).
  • Für einen Pol außerhalb der Ellipse sind die Schnittpunkte seiner Polaren mit der Ellipse die Berührpunkte der Tangenten durch an die Ellipse (s. Bild: ).
  • Für einen Punkt innerhalb der Ellipse hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam. (s. Bild: ).

Bemerkungen:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole.
  2. Der Brennpunkt und die Leitlinie sind ein Pol-Polaren-Paar.

Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln.

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert.[3] Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form , wobei eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ein beliebiger Vektor ist. Sind die Spaltenvektoren der Matrix , so wird der Einheitskreis auf die Ellipse

abgebildet. ist der Mittelpunkt und sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., und sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt ist, ergibt sich der Parameter eines Scheitels aus der Gleichung

und damit aus .
(Es wurden die Formeln benutzt.)

Falls ist, ist und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

Beispiele:

Ellipse: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  1. liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung .
  2. liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus durch Drehung um den Winkel und anschließende Verschiebung um hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., und sind die Scheitel der Ellipse.
  3. Die Parameterdarstellung
einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus zu .
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
Die Scheitel sind: und
die Halbachsen:

Bemerkung: Sind die Vektoren aus dem , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform für Ellipsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreis: Peripheriewinkelsatz

Ein Kreis mit der Gleichung ist durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter zu bestimmen, benutzt den Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Vier Punkte (s. Bild) liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei und gleich sind.

Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in Grad oder Radiant. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende Winkelmaß geeigneter:

  • Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:
Dieser Quotient ist der Kotangens des Schnittwinkels der beiden Geraden.

Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Für vier Punkte keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei und im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur y-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Kreisgleichung:

Die Gleichung des Kreises durch die 3 Punkte nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

Beispiel:

Für ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

und schließlich

Ellipsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden nur Ellipsen betrachtet mit Gleichungen

für die der Quotient fest (invariant) ist. Mit der Abkürzung erhält man die geeignetere Form

  • und fest.

Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre Exzentrizität (s. oben) ist fest. Die Hauptachse ist parallel zur x-Achse, falls ist, und parallel zur y-Achse, falls ist.

Ellipse: Peripheriewinkelsatz

Wie beim Kreis ist so eine Ellipse durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt.

Für diesen allgemeineren Fall führt man das folgende Winkelmaß ein:[4][5]

  • Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:

Peripheriewinkelsatz für Ellipsen:

Für vier Punkte keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen genau dann auf einer Ellipse mit der Gleichung , wenn die Winkel bei und im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur y-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse …“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Ellipsengleichung:

Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

Beispiel:

Für und ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

und schließlich .

Ellipsen zeichnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würfel mit Kreisen in Vogelperspektive

Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als Bilder von Kreisen auf. Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:

  • einzelne Punkte, die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
  • stetige Konstruktionen, die man technisch als Ellipsenzirkel realisieren kann und
  • eine Approximation einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei Papierstreifenmethoden zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist

  • die Kenntnis der beiden (Symmetrie-) Achsen und der Halbachsen erforderlich.

Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

Ellipse: Gärtner-Konstruktion

Gärtner-Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die definierende Eigenschaft einer Ellipse (Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant) bietet eine einfache und stetige Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.

Eine Variation der Gärtner-Konstruktion zur Konstruktion konfokaler Ellipsen geht auf den irischen Bischof Charles Graves (en) zurück.

Parameterdarstellung mit Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen beschreibt

die Ellipse Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

Punktkonstruktion nach de La Hire[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die auf de La Hire[6] zurückgehende Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen als Radien. Der Parameter wird hier als der Steigungswinkel eines von ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten , also ein Ellipsenpunkt, konstruiert.

Papierstreifenmethoden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

1. Methode

Die erste Methode verwendet

  • einen Papierstreifen der Länge .

Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der x-Achse (s. Bild).

Eine technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius .

Eine Variation der 1. Papierstreifenmethode[7] geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt und Radius bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt ) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der y-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt ) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur einen technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der Nebenachse gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

Ellipse: 2. Papierstreifenmethode

2. Methode:

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem

  • Papierstreifen der Länge

aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen und zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt kann durch die Parameterdarstellung beschrieben werden. Dabei ist der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).

Bemerkung: Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ein Gleitschuh nötig.

Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise

Approximation mit Scheitelkrümmungskreisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:

  • Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel ist
der Krümmungsradius für die Nebenscheitel ist

Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte des Scheitels und des Nebenscheitels zeichnerisch zu bestimmen:

(1) Markiere den Hilfspunkt und zeichne die Gerade .
(2) Zeichne die Gerade durch , die senkrecht zur Geraden verläuft.
(3) Die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse: Steiner-Erzeugung
Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[8][9]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln aus. Sei nun der obere Nebenscheitel der Ellipse und . Dann ist der Mittelpunkt des Rechtecks . Wir unterteilen die Rechteckseite in gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen auf die Strecke (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden und liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.

Ellipsen in der Computergrafik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse; präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

Formelsammlung (Ellipsengleichungen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt ,

Aufgelöst nach :

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur x-Achse:

Ellipsengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse:

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur x-Achse:

Mittelpunkt , Hauptachse um bezüglich x-Achse rotiert:

Dabei bezeichnet den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel zwischen der -Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z. B. dem Polarwinkel zwischen der -Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den Punkt mit gleicher y-Koordinate wie der Ellipsenpunkt jedoch auf dem Kreis mit Radius b führt (vgl. Konstruktion nach de la Hire). In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also , hängt der Polarwinkel , der durch definiert ist, mit dem Parameter zusammen über:

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters : Streckt man die -Koordinate eines Ellipsenpunktes um den Faktor , so liegt dieser neue Punkt auf einem Kreis mit Radius und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter ist nun der Winkel zwischen der -Achse und der Verbindungslinie :

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

Exzentrische Anomalie und wahre Anomalie bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels für verschiedene numerische Exzentrizitäten

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei und ihre Hauptachse entlang der x-Achse liegt:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten und folgt:

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter ):

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz bis zur Apoapsisdistanz , die folgende Werte haben:

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel bzw. der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei , der linke Brennpunkt bei liegt:

Der Winkel bzw. , je nachdem welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten , und einem beliebigen Punkt auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: sowie und nach der Definition der Ellipse . Der Winkel bei sei . Mit dem Kosinussatz gilt nun:

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten und und . Der Winkel bei sei , da definiert ist, wobei den rechten Hauptscheitel markiert.

Alternative Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Gleichsetzen der zweier Darstellungen von erhält man:

Dies entspricht einerseits mit und

und andererseits mit und :

Formelsammlung (Kurveneigenschaften)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt :

Mittelpunkt Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt :

Tangentengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei , Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei :

Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Winkel der Ellipsentangente

Zwischen Polarwinkel und Normalenwinkel und Ellipsenparameter besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zusammenhang des Polarwinkels und dem Steigungswinkel der Normalen (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach

ergibt die Tangentensteigung als Koeffizient von zu

Mit erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen und .

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt :

oder auch

Normalengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei , Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei :

Krümmungsradien und -mittelpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Krümmungsradius im Punkt :

Mittelpunkt des Krümmungskreises, Krümmungsmittelpunkt :

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Hauptscheitel :

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Nebenscheitel :

Formelsammlung (Flächeninhalt und Umfang)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Halbachsen und :

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

Ellipsensektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Ellipse mit den Halbachsen und und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel einschließt, gilt:

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter aus der Parameterdarstellung , so erhält man die Formel

Umfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs mit

Der Umfang einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Er kann aber als ein Integral dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird. Mit der Parametrisierung , ergibt sich der Umfang unter Verwendung des Satzes von Pythagoras zu

Das letzte Integral erhält man nach der Substitution und .

Der Umfang hängt von der numerischen Exzentrizität und der großen Halbachse ab. Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität der Wert des Faktors für den Umfang abgelesen werden. liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen (Ellipse zur Linie degeneriert, ) und (Ellipse wird zum Kreis, ).

ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung.

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.

Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe.[10] Für eine Ellipse mit den Halbachsen und (mit ) wird definiert. Dann ergibt sich:[11]

Näherungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherung mit Hilfe des arithmetischen Mittels der Halbachsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Genauigkeit dieser Formel
Exz. ε q = b / a Fehler
= 0,000 1,000 0 (Kreis: exakt)
< 0,051 > 0,9987 < 10−7
< 0,090 > 0,996 < 10−6
< 0,1582 > 0,9874 < 10−5
< 0,277 > 0,961 < 0,01 %
< 0,46 > 0,885 < 0,1 %
< 0,75 > 0,66 < 1 %
< 0,83 > 0,55 < 2 %
< 0,927 > 0,37 < 5 %
< 0,978 > 0,21 < 10 %
< 0,999 > 0,044 < 18,3 %
< 1,000 > 0,000 < 21,46 %
Näherung mit Hilfe des quadratischen Mittels der Halbachsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Genauigkeit dieser Formel
Exz. ε q = b / a Fehler
= 0,000 = 1,0000 0 (Kreis: exakt)
< 0,016 > 0,9999 < 10−9
< 0,026 > 0,9997 < 10−8
< 0,047 > 0,9989 < 10−7
< 0,084 > 0,9965 < 10−6
< 0,149 > 0,9888 < 10−5
< 0,262 > 0,9651 < 0,01 %
< 0,450 > 0,8930 < 0,1 %
< 0,720 > 0,6937 < 1 %
< 0,808 > 0,5891 < 2 %
< 0,914 > 0,4037 < 5 %
< 0,977 > 0,2104 < 10 %
< 1,000 > 0,000 < 14,91 %
Näherungsformel nach Ramanujan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
bzw.
, wobei .

Diese Näherung ist in einem weiten -Bereich von sehr genau und ergibt im gesamten Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert, der monoton mit zunimmt.

Der relative Fehler beträgt:

Bereich rel. Fehler
0,0000 ≤ ε ≤ 0,8820 < 10−9
0,8820 < ε ≤ 0,9242 < 10−8
0,9242 < ε ≤ 0,9577 < 10−7
0,9577 < ε ≤ 0,9812 < 10−6
0,9812 < ε ≤ 0,9944 < 10−5
0,9944 < ε ≤ 0,9995 < 10−4
0,9995 < ε ≤ 1,0000 < 0,000403

Für erhält man statt 4 den minimal zu kleinen Wert .

Siehe auch: Meridianbogen

Schriftzeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipses-Symbola.svg

Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:

Unicode Zeichen Name LaTeX[12]
U+2B2C black horizontal ellipse (Vollflächige horizontale Ellipse) \EllipseSolid
U+2B2D white horizontal ellipse (Hohle horizontale Ellipse) \Ellipse
U+2B2E black vertical ellipse (Vollflächige vertikale Ellipse) Anm.
U+2B2F white vertical ellipse (Hohle vertikale Ellipse) Anm.
Anm. Durch Rotation der horizontalen Variante mit Hilfe des Paketes rotating, das bei den üblichen LaTeX-Distributionen vorinstalliert ist.

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: \EllipseShadow.[12]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Ellipsen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Berechnungen

Konstruktion

Für alle folgenden Links wird ein Java-Plug-in benötigt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 55–66.
  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17.
  2. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  3. Siehe: C. Leopold, S. 55.
  4. E. Hartmann: Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski-planes. S. 55.
  5. W. Benz: Vorlesungen über Geomerie der Algebren. Springer (1973).
  6. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 26.
  7. J. van Mannen: Seventeenth century instruments for drawing conic sections. In: The Mathematical Gazette. Vol. 76, 1992, S. 222–230.
  8. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, TU Darmstadt, S. 12–16.
  9. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867. 2. Teil, S. 96. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  10. Eine von der hier aufgeführten Formel abweichende Form (die natürlich die gleichen Werte erzeugt) ist auf math.wolfram.com angeführt.
  11. Gérard P. Michon: Perimeter of an Ellipse. Abschnitt Very Precise Fast Computations. Auf: numericana.com. Abgerufen am 26. Juli 2015.
  12. a b Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. 19. Januar 2017, S. 135, archiviert vom Original am 28. September 2017, abgerufen am 28. September 2017 (PDF, 8,7 MB, englisch, Verlinkung des Originals führt zu einem Spiegelserver des CTAN; zum Archivlink vergleiche Datei:Comprehensive LaTeX Symbol List.pdf).