Ellipse

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Dieser Artikel behandelt die geometrische Figur der Ellipse, zu anderen Bedeutungen siehe Ellipse (Begriffsklärung). Nicht zu verwechseln mit der elliptischen Kurve.
Ellipse geometrisch
Die Saturnringe erscheinen elliptisch.
Ellipsograph – Ellipsenzirkel nach Fabris

Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale Kurve. Sie zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Die Ellipse (von griechisch ἔλλειψις élleipsis ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.)[1] eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität .[2]

Inhaltsverzeichnis

Definitionen und Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schrägbild eines Kreises oder als Schnittlinie zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kreisdoppelkegel zu bezeichnen.

Ellipse als Punktmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten und gleich einer gegebenen Konstante ist. Die Punkte und heißen Brennpunkte.

Die Konstante muss größer als sein.

Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist ein Kreis. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.

Scheitel und Achsen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Achse durch die beiden Brennpunkte heißt Hauptachse und wird durch den Mittelpunkt in ihre zwei großen Halbachsen und geteilt. Die Punkte und heißen Hauptscheitel. Die Länge je einer der beiden großen Halbachsen wird mit bezeichnet:

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln und und der Nebenachse, bestehend aus den kleinen Halbachsen und . Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit bezeichnet:

Haupt- und Nebenachse sind rechtwinklig zueinander und schneiden sich im Punkt .

Spezielle Abstände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Ellipse als Punktmenge: Die Strecke von einem Brennpunkt zum Rand der Ellipse und weiter zum zweiten Brennpunkt ist immer gleich lang.

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel und von den Brennpunkten und gerade gleich der Größe aus der Definition ist:

  • Nach Symmetrieüberlegungen gilt

Das bedeutet, dass die Punktmenge konkret als

angegeben werden kann.

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = ) der Ellipse:

Exzentrizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Exzentrizität (Mathematik)
Ellipse als Kegelschnitt

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:

Neben der linearen Exzentrizität wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität verwendet:

daraus folgt:

  • Ist , so ist und die Ellipse ein Kreis.
  • Ist , so ist , und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form.
  • Ist groß gegen , so ist annähernd Eins und die Ellipse damit einer Parabel sehr nahe.

Ellipse als Kegelschnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ellipse kann auch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel angesehen werden, wobei der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der halbe Öffnungswinkel des Doppelkegels sein muss. Die definierende Eigenschaft („Summe der Abstände zu zwei festen Punkten,...“, s. oben) lässt sich mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweisen. Siehe auch Kegelschnitt.

Hauptlage und analytische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt die Gleichung

für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse.

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert.[3] Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form , wobei eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ein beliebiger Vektor ist. Sind die Spaltenvektoren der Matrix , so wird der Einheitskreis auf die Ellipse

abgebildet. ist der Mittelpunkt und sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., und sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt ist, ergibt sich der Parameter eines Scheitels aus der Gleichung

und damit aus .
(Es wurden die Formeln benutzt.)

Falls ist, ist und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

Beispiele:

Ellipse: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  1. liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung .
  2. liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus durch Drehung um den Winkel und anschließende Verschiebung um hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., und sind die Scheitel der Ellipse.
  3. Die Parameterdarstellung
einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus zu .
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
Die Scheitel sind: und
die Halbachsen:

Bemerkung: Sind die Vektoren aus dem , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Brennpunkteigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Brennpunkt (Geometrie)
Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Eine Ellipse, deren zwei Brennpunkte zu einem zusammenfallen, wird dabei zum Kreis (entspricht verschwindender Exzentrizität, s. o.).

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Ellipse mit Leitlinien

Direktrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine echte Ellipse, d. h. e>0, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

Es ist

Ein gegebener Brennpunkt , eine Gerade (die Direktrix) und eine Zahl

definieren umgekehrt eine Ellipse als Menge aller Punkte für die das Verhältnis ihres Abstandes

vom Brennpunkt zu ihrem Abstand

von der Geraden gleich ist. (Ein Kreis lässt sich nicht mit Hilfe einer Leitlinie definieren.)

Konjugierte Durchmesser[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser . Man nennt den zu konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser überein. Der zu einer Hauptachse konjugierte Durchmesser ist die 2. Hauptachse. Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind orthogonal.

Orthogonale Tangenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)
Hauptartikel: Orthoptische Kurve

Für die Ellipse liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis .

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Ellipse kann im Sinne der klassischen Geometrie nicht konstruiert werden, weil man so nur einzelne Punkte konstruieren kann und man daher unendlich viele Konstruktionsschritte bräuchte. Es gibt aber mehrere andere Methoden, die sich unterteilen lassen in:

  1. Näherungskonstruktionen mit einer endlichen Zahl klassischer Konstruktionsschritte, um genügend viele Punkte der Ellipse zu erhalten.
  2. Exakte Konstruktion mit einem nichtklassischen Hilfsmittel.
  3. Eine Kombination aus beiden, also eine nichtklassische Näherung.

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, so können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden, um danach eine der Ellipsenkonstruktionen anzuwenden.

Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse

Näherung über Krümmungskreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. (Ein Krümmungskreis in einem Kurvenpunkt ist der Kreis, der sich in der Umgebung des Punktes am besten an die Kurve anschmiegt.) Die Krümmungsradien in den Scheiteln sind bzw. (s. Formelsammlung, unten). Die Mittelpunkte der jeweiligen Scheitelkrümmungskreise lassen sich leicht zeichnerisch bestimmen (s. Bild unten) und die Krümmungskreise einzeichnen.[4]

Konstruktionen durch Bestimmen von Punkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion nach de la Hire[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklos) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen. Man zeichne zwei konzentrische Kreise mit den Radien (Innen- oder Nebenkreis) und (Außen- oder Hauptkreis) und zusätzlich eine vom Zentrum ausgehende Linie mit der Steigung , die beide Kreise schneidet. Die Parallele zur x-Achse durch den Schnittpunkt auf dem Nebenkreis trifft im Punkt die Parallele zur y-Achse durch den Schnittpunkt auf dem Hauptkreis. Ändern des Polarwinkels lässt der Kontur der Ellipse mit den Halbachsen und folgen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipse: Steiner-Erzeugung
Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[5][6]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln aus. Sei nun der obere Nebenscheitel der Ellipse und . Dann ist der Mittelpunkt des Rechtecks . Wir unterteilen die Rechteckseite in n gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen auf die Strecke (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden und liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung: a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und man arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Analoge Methoden gibt es auch für Parabel und Hyperbel.

Auf Basis eines Kreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

Stetige Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gärtnerkonstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, bietet die Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge . Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion im Sinne der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsweise eines Ellipsenzirkels nach einem bereits von Proklos überlieferten Prinzip[7]
Ellipsenzirkel in der Ausführung von Benjamin Bramer[7]

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten auf der Zeichenunterlage befestigt.

Abgebildet ist ein Ellipsenzirkel von Benjamin Bramer. Das Gelenk auf dem waagerecht laufenden Schlitten hat vom Stift im Punkt genau den konstanten Abstand (kleiner Achsabstand), jenes auf dem senkrecht laufenden Schlitten den konstanten Abstand (großer Achsabstand). Die Brennpunkte spielen bei diesem Ellipsenzirkel keine direkte Rolle.[7]

Papierstreifenmethode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Papierstreifenmethode

Fertigt man einen Papierstreifen der Länge an, markiert den Teilpunkt , der den Streifen in zwei Strecken der Länge und trennt, und lässt die Enden des Papierstreifens auf den Koordinatenachsen gleiten (siehe Bild), so durchläuft der Punkt eine Ellipse mit den Halbachsen [8] Die Papierstreifenmethode ist eine Hilfe, die Hauptachsen nach einer Rytz-Konstruktion richtig anzutragen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse; präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

Formelsammlung (Ellipsengleichungen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt ,

Aufgelöst nach :

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur x-Achse:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notes on deduction of formula of an ellipse.svg

Um die Ellipsengleichung herzuleiten (Mittelpunkt ), stellt man sich zuerst mit Hilfe des nebenstehenden Bildes folgendes Gleichungssystem auf:

(1)  

(2)  

(3)  

(4)  

Formel (1) ist hierbei ein direktes Resultat der Ellipsendefinition. Diese so umgeformt, dass nur quadratische Terme auftreten:

Einsetzen von (2) und (3) liefert:

Dies ergibt zusammen mit (4) die gesuchte Beziehung:

Ellipsengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse:

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur x-Achse:

Mittelpunkt , Hauptachse um bezüglich x-Achse rotiert:

Dabei bezeichnet den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel zwischen der -Achse und der Gerade, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt. In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also , hängt der Polarwinkel , der durch definiert ist, mit dem Parameter zusammen über:

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters : Streckt man die -Koordinate eines Ellipsenpunktes um den Faktor , so liegt dieser neue Punkt auf einem Kreis mit Radius und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter ist nun der Winkel zwischen der -Achse und der Verbindungslinie :

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

Exzentrische Anomalie und wahre Anomalie bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels für verschiedene numerische Exzentrizitäten

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei und ihre Hauptachse entlang der x-Achse liegt:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten und folgt:

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter ):

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz bis zur Apoapsisdistanz , die folgende Werte haben:

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel bzw. der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei , der linke Brennpunkt bei liegt:

Der Winkel bzw. , je nachdem welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten , und einem beliebigen Punkt auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: sowie und nach der Definition der Ellipse . Der Winkel bei sei . Mit dem Kosinussatz gilt nun:

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten sowie und . Der Winkel bei sei , da definiert ist, wobei den rechten Hauptscheitel markiert.

Alternative Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Gleichsetzen der zweier Gleichungen für erhält man

Dies entspricht einerseits mit und

und andererseits mit und

Formelsammlung (Kurveneigenschaften)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt :

Mittelpunkt Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt :

Tangentengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei , Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei :

Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Winkel der Ellipsentangente

Zwischen Polarwinkel und Normalenwinkel und Ellipsenparameter besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zusammenhang des Polarwinkels und dem Steigungswinkel der Normalen (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach

ergibt die Tangentensteigung als Koeffizient von zu

Mit erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen und .

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt , Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt :

oder auch

Normalengleichung (Parameterform)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei , Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei :

Krümmungsradien und -mittelpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Krümmungsradius im Punkt :

Mittelpunkt des Krümmungskreises, Krümmungsmittelpunkt :

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Hauptscheitel :

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Nebenscheitel :

Formelsammlung (Flächeninhalt und Umfang)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Halbachsen und :

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

.

Ellipsensektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Ellipse mit den Halbachsen und und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel einschließt, gilt:

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter aus der Parameterdarstellung , so erhält man die Formel

Umfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs U = k · a mit k = 4 E(ε)

Der Umfang einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen angegeben werden. Er kann als ein Integral dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird. Mit der Parametrisierung , ergibt sich der Umfang unter Verwendung des Satzes von Pythagoras zu

Das letzte Integral erhält man nach der Substitution und .

Der Umfang hängt von der numerischen Exzentrizität ε und der großen Halbachse a ab. Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität ε der Wert des Faktors k = 4 E(ε) für den Umfang U = k · a abgelesen werden. k liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen k = 4 (Ellipse zur Linie degeneriert, ε = 1) und k = 2π (Ellipse wird zum Kreis, ε = 0).

bzw. E(ε) ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung.

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.

Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe.[9] Für eine Ellipse mit den Halbachsen a und b (mit a > b) wird definiert. Dann ergibt sich:[10]

Näherungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherung mit Hilfe des arithmetischen Mittels der Halbachsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Genauigkeit dieser Formel
Exz. ε q = b / a Fehler
= 0,000 1,000 0 (Kreis: exakt)
< 0,051 > 0,9987 < 10−7
< 0,090 > 0,996 < 10−6
< 0,1582 > 0,9874 < 10−5
< 0,277 > 0,961 < 0,01 %
< 0,46 > 0,885 < 0,1 %
< 0,75 > 0,66 < 1 %
< 0,83 > 0,55 < 2 %
< 0,927 > 0,37 < 5 %
< 0,978 > 0,21 < 10 %
< 0,999 > 0,044 < 18,3 %
< 1,000 > 0,000 < 21,46 %
Näherung mit Hilfe des quadratischen Mittels der Halbachsen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Genauigkeit dieser Formel
Exz. ε q = b / a Fehler
= 0,000 = 1,0000 0 (Kreis: exakt)
< 0,016 > 0,9999 < 10−9
< 0,026 > 0,9997 < 10−8
< 0,047 > 0,9989 < 10−7
< 0,084 > 0,9965 < 10−6
< 0,149 > 0,9888 < 10−5
< 0,262 > 0,9651 < 0,01 %
< 0,450 > 0,8930 < 0,1 %
< 0,720 > 0,6937 < 1 %
< 0,808 > 0,5891 < 2 %
< 0,914 > 0,4037 < 5 %
< 0,977 > 0,2104 < 10 %
< 1,000 > 0,000 < 14,91 %
Näherungsformel nach Ramanujan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
bzw.
, wobei .

Diese Näherung ist in einem weiten -Bereich von sehr genau und ergibt im gesamten Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert der monoton mit zunimmt.

Der relative Fehler beträgt:

Bereich rel. Fehler
0,0000 ≤ ε ≤ 0,8820 < 10−9
0,8820 < ε ≤ 0,9242 < 10−8
0,9242 < ε ≤ 0,9577 < 10−7
0,9577 < ε ≤ 0,9812 < 10−6
0,9812 < ε ≤ 0,9944 < 10−5
0,9944 < ε ≤ 0,9995 < 10−4
0,9995 < ε ≤ 1,0000 < 0,000403

Für erhält man statt 4 den minimal zu kleinen Wert .

Siehe auch: Meridianbogen

Schriftzeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ellipses-Symbola.svg

Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:

Unicode Zeichen Name LaTeX[11]
U+2B2C black horizontal ellipse (Vollflächige horizontale Ellipse) \EllipseSolid
U+2B2D white horizontal ellipse (Hohle horizontale Ellipse) \Ellipse
U+2B2E black vertical ellipse (Vollflächige vertikale Ellipse) Anm.
U+2B2F white vertical ellipse (Hohle vertikale Ellipse) Anm.
Anm. Durch Rotation der horizontalen Variante mit Hilfe des Paketes rotating, das bei den üblichen LaTeX-Distributionen vorinstalliert ist.

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: \EllipseShadow.[11]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Ellipsen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Berechnungen
Konstruktion

Für alle folgenden Links wird ein Java-Plug-in benötigt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 55–66.
  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17
  2. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  3. Siehe: C. Leopold, S. 55.
  4. Siehe: C. Leopold, S. 64.
  5. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, TU Darmstadt, S. 12–16.
  6. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867. 2. Teil, S. 96. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  7. a b c Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3 Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437. Bei: Zeno.org.
  8. Siehe: C. Leopold, S. 60.
  9. Eine von der hier aufgeführten Formel abweichende Form (die natürlich die gleichen Werte erzeugt) ist auf math.wolfram.com angeführt
  10. Gérard P. Michon: Perimeter of an Ellipse (Abschnitt: Very Precise Fast Computations) auf numericana.com (abgerufen 26. Juli 2015)
  11. a b Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. 12. November 2015, S. 135, abgerufen am 24. November 2015 (PDF, 8,6 MB, englisch, Hinweis: Download von zufällig ausgewähltem Spiegelserver des CTAN).