Catalansche Vermutung

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Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen und keine weiteren echten Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung mit lautet , , und .

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Ca. 1320 bewies Levi ben Gershon: Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für nur die Lösung und gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im „Journal für die reine und angewandte Mathematik“ als Leserbrief veröffentlicht.[1]

Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h. dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder und erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder und sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

und

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen und an: q < 7,15 * 1011, p < 7,78 * 1016.

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167--195
  • Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
  • Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr.909, 2002, (PDF).
  • Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
  • Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
  • Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eugène Charles Catalan: Note. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online)