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Leonhard Euler

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Leonhard Euler (Porträt von Jakob Emanuel Handmann, 1756)

Leonhard Euler (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. Septemberjul. / 18. September 1783greg. in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.

Er machte wichtige und weitreichende Entdeckungen in vielen Bereichen der Mathematik, beispielsweise der Infinitesimalrechnung und der Graphentheorie. Gleichzeitig leistete Euler fundamentale Beiträge auf anderen Gebieten wie der Topologie und der analytischen Zahlentheorie. Er prägte große Teile der bis heute weltweit gebräuchlichen mathematischen Terminologie und Notation, beispielsweise führte er den Begriff der mathematischen Funktion in die Analysis ein. Er ist zudem für seine Arbeiten in der Mechanik, Strömungsdynamik, Optik, Astronomie und Musiktheorie bekannt.

Euler, der den größten Teil seines Lebens in Sankt Petersburg und in Berlin verbrachte, war einer der bedeutendsten Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Er gilt heute als einer der brillantesten und produktivsten Mathematiker aller Zeiten. Seine gesammelten Schriften (Opera omnia) umfassen bisher 76 Bände.

Leonhard Euler zu Ehren erhielten zwei mathematische Konstanten seinen Namen: die Eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus) und die Euler-Mascheroni-Konstante aus der Zahlentheorie, die gelegentlich auch Eulersche Konstante genannt wird.

Eulers Arbeiten inspirierten viele Generationen von Mathematikern, darunter Pierre-Simon Laplace, Carl Gustav Jacobi und Carl Friedrich Gauß, nachhaltig. Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben: «Lest Euler, er ist unser aller Meister!».

Kindheit, Jugend und Ausbildung

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Im Pfarrhaus in Riehen wuchs Leonhard Euler auf.
Im Pfarrhaus in Riehen bei Basel wuchs Leonhard Euler auf.

Euler wurde als ältester Sohn des Pfarrers Paul III. Euler (1670–1745) und dessen Ehefrau Margaretha Brucker (1677–1761), einer Pfarrerstochter, in Basel geboren. Er hatte zwei jüngere Schwestern, Anna Maria und Maria Magdalena, und einen jüngeren Bruder, Johann Heinrich.[1]

In der Dorfkirche Riehen war Leonhard Eulers Vater Paul Pfarrer.

Bald nach der Geburt von Leonhard zog die Familie Euler wegen einer Versetzung des Vaters von Basel in das benachbarte Dorf Riehen, wo Leonhard ab 1708 den größten Teil seiner Kindheit verbrachte.[2] Das geistige Klima im Pfarrhaushalt war inspirierend: Eulers Mutter kam selbst aus einer gebildeten Familie, und der Vater hatte mathematische Interessen und bei Jakob I Bernoulli nicht nur Vorlesungen gehört, sondern sogar 1688 eine mathematische Dissertation verfasst.[3] Leonhard Euler besuchte das Gymnasium am Münsterplatz in Basel und bekam gleichzeitig Privatunterricht beim Theologen Johannes Burckhardt (1691–1743). Dies hatte sein Vater für ihn arrangiert, da der Mathematikunterricht an der Schule gestrichen worden war. Es gilt zudem als gesichert, dass der junge Euler das Buch Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genennt werden von Christoph Rudolff (1499–1545) erfolgreich studierte.[4] Der mathematikbegeisterte Vater war mit den Bernoullis und speziell Europas führendem Mathematiker Johann I Bernoulli, der später großen Einfluss auf den jungen Leonhard nehmen sollte, befreundet.

Im Jahr 1720 schrieb er sich im Alter von 13 Jahren an der Universität Basel ein. Auf Wunsch seines Vaters, der für seinen Sohn eine Pastorenlaufbahn vorgesehen hatte, begann Euler ein Studium der Theologie sowie der griechischen und hebräischen Sprache. Drei Jahre später erhielt er die Magisterwürde. In der dabei eingereichten Dissertation verglich er die Naturphilosophie in den Systemen von Descartes und von Newton miteinander. Die Verteidigungsrede ist zwar nicht schriftlich überliefert, doch wird Eulers naturphilosophisches Bild später Elemente beider großen Systeme beibehalten: von Descartes die Metaphysik der Nahwirkung aller Kräfte und von Newton die rein mathematische Durcharbeitung von Fernkräften auf Punktmassen, die er zeit seines Lebens mit den Mitteln der von ihm geprägten Analysis weiterentwickeln wird.[5]

Zwischenzeitlich hatte er wöchentlich Unterricht bei Johann Bernoulli genommen, der zu damaliger Zeit führende Mathematiker auf dem Kontinent. Bernoulli war mit dem damaligen Entwicklungsstand der Infinitesimalrechnung vertraut und bildete sie weiter. Euler hatte somit bereits in seinen Jugendjahren direkten Zugang zu aktuellen Problemen der Mathematik, die seine Erforschung der Analysis bestimmen sollten.[6][7] Bernoulli war es auch, der die außergewöhnliche Begabung seines neuen Schülers für Mathematik erkannte und zu fördern begann.[8] Bernoulli überzeugte daraufhin Paul Euler, dass sich Leonhard besser der Mathematik und Physik zuwende. Sein Einfluss auf Eulers Entwicklung war prägend.[9] Mit Johann Bernoulli pflegte Euler seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere bis zu dessen Lebensende, also etwa zwanzig Jahre, eine freundschaftliche wie kollegiale Briefbeziehung.[10]

1726 schloss Euler eine weitere Dissertation mit dem Titel De Sono, ein Werk über die Schallausbreitung, ab.[11] Im Jahr 1727 nahm er erstmals am Wettbewerb um den Pariser Akademiepreis teil, in dem es galt, das Problem der optimalen Platzierung von Schiffsmasten zu lösen. Jedes Jahr stellte die Pariser Akademie einen Preisbericht zusammen, und die Berichte wurden anschließend in ihren Preisbänden Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences de Paris (Arbeiten, die den Preis der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Paris gewonnen haben) veröffentlicht.[12] Eulers eingereichte Arbeit belegte nur den dritten Platz, löste jedoch ein Problem.[12] Den Wettbewerb gewann Pierre Bouguer, der später als „Vater des Schiffbaus“ Bekanntheit erlangte. Spätere Austragungen des Wettbewerbs konnte Euler in insgesamt zwölf Fällen für sich entscheiden.[13] Von der ersten Ausschreibung im Jahr 1720 bis zum größten Teil des achtzehnten Jahrhunderts galt der Prix de Paris als die bedeutendste wissenschaftliche Auszeichnung in Europa.[12]

Zeit in Sankt Petersburg

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Um diese Zeit arbeiteten die beiden Söhne von Johann Bernoulli, Daniel und Nikolaus, an der 1725 neu eröffneten Kaiserlich Russischen Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg, nachdem bereits Eulers Studienkollege Jakob Hermann ein Jahr zuvor dort die Professur für Mathematik angenommen hatte.[14] Am 31. Juli 1726 starb Nikolaus an einer Blinddarmentzündung.[15] Als Daniel die Stelle seines Bruders in der Abteilung Mathematik/Physik übernahm, empfahl er, die von ihm frei gewordene Stelle in der Physiologie mit seinem Freund Euler zu besetzen. Im November 1726 nahm Euler das Angebot an, verzögerte aber die Reise nach Sankt Petersburg, während er sich erfolglos um eine Physikprofessur an der Universität Basel bewarb.[15]

Daniel Bernoulli

Euler kam am 17. Mai 1727 in Sankt Petersburg an. Er wurde sehr bald von seiner Junior-Stelle in der medizinischen Abteilung der Akademie auf eine Stelle in der mathematischen Abteilung befördert und trat damit die Nachfolge Jakob Hermanns an, der wieder nach Basel zurückkehrte.[16] Während dieser Zeit wohnte er bei Daniel Bernoulli, mit dem er oft eng zusammenarbeitete. Euler beherrschte bereits nach kurzem Aufenthalt die russische Sprache fließend und ließ sich in Sankt Petersburg nieder.[17] Einige Quellen (primär ältere Sekundärwerke) behaupten, dass er (auf der Grundlage eines Preises der Pariser Akademie für Schiffsmasten und Physiologiekurse) zum Sanitäter der russischen Marine wurde. Hierüber gibt es jedoch keine Aufzeichnungen.[18]

Die von Peter dem Großen gegründete Akademie in Sankt Petersburg sollte die Ausbildung in Russland verbessern und den wissenschaftlichen Vorsprung Westeuropas aufholen. Zu diesem Zweck wurde sie für ausländische Wissenschaftler wie Euler besonders attraktiv gemacht. Die Akademie verfügte über reichlich finanzielle Mittel und eine umfangreiche Bibliothek, die aus den Privatbibliotheken Peters und des Adels stammte. Um die Lehrtätigkeit der Fakultät zu entlasten, wurden nur sehr wenige Studenten an der Akademie eingeschrieben. Die Akademie legte gesteigerten Wert auf die Forschung und bot ihren Mitgliedern sowohl die Zeit als auch die Freiheiten, wissenschaftlichen Fragen nachzugehen.[19]

Katharina I., die die fortschrittliche Politik ihres verstorbenen Mannes fortgesetzt und die Akademie unterstützt hatte, starb am Tag von Eulers Ankunft. Mit dem Aufstieg des zwölfjährigen Peter II. gewann der russische Adel an Einfluss. Der Adel, der den ausländischen Wissenschaftlern der Akademie ablehnend gegenüberstand, kürzte die Mittel und bereitete Euler und seinen Kollegen damit zunehmende Schwierigkeiten.[19]

Nach dem Tod Peters II. verbesserten sich die Bedingungen für die Wissenschaft wieder ein wenig. Euler stieg dank seiner Leistungen rasch auf und wurde 1731 zum Professor für Physik ernannt. Zwei Jahre später reiste Daniel Bernoulli, der die Zensur und die Feindseligkeiten in Sankt Petersburg nicht mehr ertrug, nach Basel. Euler trat schließlich 1733 als dessen Nachfolger die Professur für Mathematik an.[20]

Am 7. Januar 1734 heiratete er Katharina Gsell (1707–1773), eine Tochter des Malers Georg Gsell aus dessen erster Ehe mit Marie Gertrud van Loen.[21] Das junge Paar kaufte ein Haus an der Newa. Von ihren 13 Kindern überlebten nur fünf die Kindheit.[22] Eulers Enkelin Charlotte Anna Wilhelmine (* 1773; † 1831), die Tochter seines Sohnes Johann Albrecht (* 1734; † 1800), war mit Jakob Bernoulli, dem zweiten Jakob der Bernoulli-Familie (* 1759; † 1789), kinderlos verheiratet.[23]

Nach Eulers eigener Einschätzung ließen ihn die Petersburger Jahre zu einem starken Wissenschaftler heranreifen. Dies geht aus verschiedenen überlieferten Briefen aus seiner Berliner Zeit hervor.[24]

Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt (1767), Fürstäbtissin des Stifts Herford

Besorgt über die anhaltenden politischen Wirren und Machtkämpfe in Folge des Todes der Zarin Anna I. in Russland verließ Euler am 19. Juni 1741 Sankt Petersburg, um eine Stelle an der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin zu übernehmen, die ihm von Friedrich II. von Preußen angeboten worden war. Euler korrespondierte dort mit Christian Goldbach und verglich dessen Theorien mit seinen eigenen.

Darüber hinaus wurde Euler gebeten, Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, Friedrichs Cousine zweiten Grades, als Tutor zu dienen. Anfang der 1760er-Jahre schrieb Euler über 200 Briefe an sie, die später zu einem Buchband mit dem Titel Briefe an eine deutsche Prinzessin – über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie zusammengestellt wurden.[25] Dieses Werk enthielt Eulers Ausführungen zu verschiedenen Themen der Physik und Mathematik und bot wertvolle Einblicke in seine Persönlichkeit und religiösen Überzeugungen. Das Buch wurde populärer als jedes seiner mathematischen Werke und in ganz Europa und in den Vereinigten Staaten veröffentlicht. Die Popularität der „Briefe“ zeugt von Eulers Fähigkeit, wissenschaftliche Themen einem Laienpublikum effektiv zu vermitteln, etwas, was unter engagierten Forschern als selten galt.[26]

Porträt des Leonhard Euler (Jakob Emanuel Handmann 1753). Zu erkennen ist das entzündete rechte Auge.

Eulers Sehkraft verschlechterte sich im Laufe seiner mathematischen Laufbahn. Im Jahr 1738, drei Jahre nachdem er zwischenzeitlich lebensgefährlich erkrankt war (es ist aus den Aufzeichnungen Eulers damaligen Arztes nicht zu erkennen, welche Erkrankung genau vorlag[27]), erblindete er auf seinem rechten Auge fast vollständig. Euler machte jedoch die mühsame Arbeit an der Kartographie für die Sankt Petersburger Akademie dafür verantwortlich. Seine Sehkraft auf diesem Auge verschlechterte sich während seines Aufenthalts in Deutschland so sehr, dass Friedrich ihn bald als „mein Zyklop“ bezeichnete.[28] Euler bemerkte zu seinem Sehverlust: „Jetzt werde ich weniger Ablenkung haben“.[29]

Friedrich II. (Porträt von Anton Graff, 1781) gilt als großer Reformer

Trotz Eulers immensen Beitrags zum Ansehen der Akademie geriet er mit Friedrich in Streit. Der preußische König hatte einen großen Kreis von Intellektuellen an seinem Hof. Er fand den Mathematiker jedoch unkultiviert und zu schlecht informiert über die Dinge jenseits von Zahlen und Werten. In einem Brief an seinen Bruder August Wilhelm schrieb Friedrich:

„Liebster Bruder! Ich dachte mir schon, daß Deine Unterhaltung mit Herrn Euler Dich nicht erbauen würde. Seine Epigramme bestehen in Berechnungen neuer Kurven, irgendwelcher Kegelschnitte oder astronomischer Messungen. Unter den Gelehrten gibt es solche gewaltige Rechner, Kommentatoren, Übersetzer und Kompilatoren, die in der Republik der Wissenschaften nützlich, aber sonst alles andere als glänzend sind. Man verwendet sie wie die dorischen Säulen in der Baukunst. Sie gehören in den Unterstock, als Träger des ganzen Bauwerkes und der korinthischen Säulen, die seine Zierde bilden.“

Friedrich II.: Oktober 1746[30]

Als einfacher, frommer Mann, der nie die bestehende Gesellschaftsordnung oder konventionelle Überzeugungen in Frage stellte, galt Euler in vielerlei Hinsicht als das genaue Gegenteil von Voltaire, der an Friedrichs Hof einen hohen Stellenwert genoss. Euler war kein geübter Redner und machte es sich oft zur Aufgabe, über Themen zu streiten, über die er wenig wusste, was ihn zum Ziel von Spott seitens Voltaires machte.[31] In der als Akademiestreit bezeichneten Auseinandersetzung zwischen Pierre Maupertuis und Voltaire stand Euler, neben Friedrich II., als einer der wenigen auf Maupertuis’ Seite.[32]

Friedrich hatte für Eulers Arbeits- und Ausdrucksweise nur wenig Verständnis. Ihm war die ‹Strenge der Mathematik […] ein Greuel›.[33] Unter anderem konnten Eulers Versuche, die Musik auf Basis der Mathematik zu behandeln, bei Friedrich nur hämische Bemerkungen hervorrufen.[34] Auch soll Euler sich einmal auf einen Wettstreit mit Friedrichs Kapellmeister eingelassen haben, in dem er ein Menuett nach den Grundsätzen der von ihm entwickelten und nach ihm benannten Tonlehre komponierte. Doch erwies sich diese Musik als ‹unsangbar, steif, ohne die mindeste Anmut; man war froh, als er die letzte Note anschlug›.[35]

Friedrich II. brauchte Eulers mathematische Fertigkeiten vor allem für praktische Dienste, wie für die Nivellierung des Finowkanals, für die Anlage der Wasserwerke in Sanssouci, zur Aufsicht über die Salzwerke in Schönebeck, oder zur Begutachtung von Lotterieplänen, Witwenkassen und anderen Finanzprojekten.[36] Dabei äußerte er seine Enttäuschung über Eulers praktische Fähigkeiten als Ingenieur:

« Je voulus faire un jet d’eau en mon Jardin; le Ciclope Euler calcula l’éffort des roues, pour faire monter l’eau dans un bassin, d’ou elle devoit retomber par des canaux, afin de jaillir à Sans-Souci. Mon Moulin a été éxécuté géométriquement, et il n’a pu élever une goutte d’eau à Cinquante pas du Bassin. Vanité des Vanités ! Vanité de la géométrie. »

„Ich wollte in meinem Garten eine Fontaine anlegen lassen. Der Zyklop Euler berechnete die Kräfte der Räder, durch die das Wasser in ein Bassin steigen, von da wieder herunterfallen, durch Kanäle fließen und in Sanssouci springen sollte. Meine Wasserkunst ward mathematisch angelegt, und konnte fünfzig Schritte weit nicht einen Tropfen in die Höhe bringen. O Eitelkeit der Eitelkeiten! O Eitelkeit der Geometrie!“

Friedrich II.: An Voltaire 25. Januar 1778[37][38]

Nach Einschätzung des Physikers Michael Eckert ist das Scheitern des Bauprojektes jedoch nicht auf Rechenfehler Eulers, sondern minderwertiges Baumaterial zurückzuführen.[39]

Als Grund für den endgültigen Bruch zwischen Euler und Friedrich gilt jedoch die Weigerung des Monarchen, nach dem Tode von Pierre Maupertuis Euler als dessen Nachfolger für das Amt des Präsidenten der Akademie zu ernennen. Stattdessen favorisierte Friedrich den französischen Mathematiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert. Als d’Alembert aber den Posten des Präsidenten der Akademie nicht annahm und stattdessen Euler vorschlug, ignorierte Friedrich dies. Euler zeigte zu wenig ‹staatmännischen Schliff›, zu wenig Eloquenz, er hatte kein sicheres Auftreten: Merkmale, auf die Friedrich viel Wert legte.[40] Überliefert sind auch Vorkommnisse, bei denen Euler in der Akadamie gewisse Führungsschwäche an den Tag legte und die Friedrich verärgert haben, so etwa die Finanzaffäre um David Koehler.[41] Als Reaktion auf Friedrichs Ablehnung reichte Euler ein Entlassungsgesuch ein, blieb mit seiner Bitte jedoch erfolglos. Erst nach einem zweiten Versuch ließ Friedrich ihn ziehen.[42] Kurz nach Eulers Abreise ernannte Friedrich den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange, mit dem Euler bei der Entwicklung der Variationsrechnung zusammengearbeitet hatte, zum Präsidenten.[43]

Euler lebte insgesamt 25 Jahre lang in Berlin, wo er über 380 Artikel schrieb. In Berlin veröffentlichte er zwei seiner bekanntesten Werke: die Introductio in analysin infinitorum, ein 1748 veröffentlichter Text über Funktionen, und die Arbeit Institutiones calculi differentialis,[44] die die Differentialrechnung behandelt und 1755 veröffentlicht wurde. 1755 wurde er außerdem zum ausländischen Mitglied der Königlich-Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt.

Rückkehr nach Sankt Petersburg und Tod

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Katharina II. bereitete Euler in Sankt Petersburg einen großen Empfang

1760, als der Siebenjährige Krieg im Gange war, wurde Eulers Hof in Charlottenburg von den vorrückenden russischen Truppen geplündert. Als General Iwan Petrowitsch Saltykow von diesem Zwischenfall erfuhr, zahlte er eine Entschädigung an Euler für dessen verloren gegangenen Besitz, wobei Kaiserin Elisabeth von Russland später eine weitere Zahlung von 4000 Rubel hinzufügte – damals eine enorme Summe.[45] Die politische Situation in Russland stabilisierte sich nach der Thronbesteigung von Katharina der Großen, so dass Euler 1766 eine Einladung zur Rückkehr an die Sankt Petersburger Akademie annahm. Euler stellte Bedingungen: ein Jahresgehalt von 3000 Rubel, eine Rente für seine Frau und das Versprechen, seine Söhne in hohe Positionen zu berufen. All diesen Bitten wurde stattgegeben.[46] Er sollte den Rest seines Lebens in Russland verbringen.

1771 erblindete er vollständig. Es hatte sich ein Grauer Star in seinem linken Auge entwickelt, der 1766 entdeckt wurde. Die Wiederherstellung des Sehvermögens durch einen chirurgischen Eingriff an seinem linken Auge verbesserte seine Sehkraft temporär. Im Oktober wurde er jedoch durch eine Komplikation, möglicherweise eine Infektion, fast vollständig blind und hatte gelegentlich Schmerzen.[47] Er war damals 59 Jahre alt. Sein Zustand schien aber kaum Auswirkungen auf seine Produktivität zu haben, da er vieles mit seinen geistigen Rechenfähigkeiten und seinem außergewöhnlichen Gedächtnis kompensierte. Mit Hilfe seiner Schreiber konnte Euler seine Publikationsrate sogar noch erhöhen.[48] Die Eulers trugen einen Doppelnamen, Euler-Schölpi, der sich von „schelb“ und „schief“ ableitet und für schielende oder krumme Augen steht.[49] Dies deutet darauf hin, dass die Eulers möglicherweise alle eine Anfälligkeit für Augenprobleme hatten.[50]

Trotz Erblindung entstand fast die Hälfte seines Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhielt er dabei von seinen Söhnen Johann Albrecht, Karl und Christoph sowie von seinem Sekretär Nikolaus Fuss.[51] Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wurde er nie Präsident der Universität. Eulers Beziehungen zum Direktor der Petersburger Akademie Wladimir Grigorjewitsch Orlow, der den Posten im Alter von 23 Jahren angetreten hatte, gestalteten sich erneut schwierig. Euler zog sich bald von seinen offiziellen akademischen Pflichten an der Petersburger Akademie zurück, was ihm mehr Freiraum für seine wissenschaftliche Arbeit gab.[52]

Sein zweiter Aufenthalt in Russland war, neben seiner Erblindung, auch von weiteren einschneidenden Ereignissen geprägt. Ein Brand in Sankt Petersburg im Jahr 1771 kostete ihn seine Wohnstätte und fast sein Leben. Unter anderem seine Bibliothek und Möbel fielen den Flammen zum Opfer, doch durch die schnelle Reaktion von Wladimir Orlow konnten viele Manuskripte gerettet werden. Ein Verlust war ein Werk über Mondtheorie, das 1772 von der Akademie in Paris hätte veröffentlicht werden sollen. Johann Albrecht Euler musste es anschließend Wort für Wort neu aufschreiben.[53] 1773 starb schließlich seine erste Frau Katharina.[54] Der Verlust erschwerte das häusliche Leben enorm, da Katharina den kompletten Haushalt geführt hatte. Euler war entschlossen, unabhängig zu bleiben und sich nicht auf seine Söhne zu verlassen, obwohl es damals durchaus üblich war, dass ein älterer Elternteil bei den Kindern wohnte und unter ihrer Obhut stand.[54] Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der Kunstkammer.

Eulers Grab auf dem Friedhof des Alexander-Newski-Klosters in Sankt Petersburg

Drei Jahre nach dem Tod seiner Frau heiratete Euler ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell (1723–1794), Tochter von Georg Gsell und dessen dritter Ehefrau Maria Dorothea Gsell,[55] der Tochter von Maria Sibylla Merian. Diese Ehe währte bis zu seinem Tod. Im Jahr 1782 wurde er zum ausländischen Ehrenmitglied der Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften gewählt.[56]

Am 18. September 1783 (des gregorianischen Kalenders) diskutierte Euler in Sankt Petersburg nach einem Mittagessen mit seiner Familie und seinem Kollegen Anders Johan Lexell über den neu entdeckten Planeten Uranus und seine Umlaufbahn, als er in Folge einer Hirnblutung kollabierte. Einige Stunden später, gegen elf Uhr in der Nacht, starb er.[57] Jacob von Staehlin schrieb einen kurzen Nachruf für die Russische Akademie der Wissenschaften, und Nikolaus Fuss hielt bei einem Gedenktreffen eine ausführlichere Lobrede. Marquis de Condorcet schrieb angesichts Eulers Ableben:

„[…] er hörte auf zu rechnen und zu leben.“

Marquis de Condorcet[58]

Euler wurde neben seiner Frau auf dem lutherischen Smolensker Friedhof auf der Wassiljewski-Insel in Sankt Petersburg begraben. Die Russische Akademie der Wissenschaften setzte 1837 einen Stein auf das Grab.[59] Zum Gedenken an den 250. Jahrestag von Eulers Geburtstag wurde der Grabstein 1956 zusammen mit seinen sterblichen Überresten in die Nekropole auf den Lazarus-Friedhof des Alexander-Newski-Klosters umgebettet.

Titelblatt der «Lobrede auf Herrn Leonhard Euler» von 1783

Eulers bahnbrechende Leistungen auf vielen Gebieten waren bereits seinen Zeitgenossen bewusst. So wurde er als „fleischgewordene Analysis“ und „Sonne aller Mathematiker“ gefeiert.[60] In seiner ausführlichen Lobrede betonte Nikolas Fuss Eulers Einfluss auf die Wissenschaft:

„Dies sind Eulers Verdienste um die Aufklärung seines Zeitalters, dies seine der Unsterblichkeit würdigen Arbeiten. Sein Name, den die Nachwelt dem eines Galilei, Descartes, Leibniz, Newton und so vieler anderer grossen Männer, die der Menschheit durch ihr Genie Ehre gemacht haben, an die Seite setzen wird, kann nur mit den Wissenschaften erlöschen. […] Wenige Gelehrte haben so viel als Euler geschrieben, kein Geometer so viele Gegenstände auf einmal umfaßt, keiner über alle Teile der Mathematik so viel Licht verbreitet.“

Bei diesem Nachruf handelt es sich um einen der berühmtesten, die aus der Geschichte der Wissenschaften überliefert sind. Die ursprüngliche Fassung war auf Französisch geschrieben und wurde am 23. Oktober 1783 (gregorianisch: 3. November) in der Kayserlichen Akademie der Wissenschaften zu Sankt Petersburg vorgelesen.[62]

Nach der Oktoberrevolution von 1917 kehrte ein Teil seiner Nachkommen von Russland in die Schweiz zurück, darunter die Eltern des späteren Nationalrats Alexander Euler (1929–2012).[63]

Wissenschaftliches Werk

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Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte.[64][65][66] Unter anderem publizierte er über Geometrie, Infinitesimalrechnung, Trigonometrie, Algebra und Zahlentheorie, sowie Kontinuumsmechanik, Mondtheorie und andere Bereiche der Physik. Seine gesammelten Schriften der Opera omnia umfassen 74 Bände.[67] Insgesamt sind 866 Publikationen von ihm bekannt.[68] Sein Gesamtwerk umfasst damit schätzungsweise ein Drittel des gesamten Korpus mathematischer, physikalischer und mechanischer Forschung innerhalb der letzten drei Viertel des 18. Jahrhunderts.[69] Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.

Nach Leonhard Euler sind gleich zwei mathematische Konstanten benannt: die Eulersche Zahl aus der Analysis und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als Eulersche Konstante bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist.

Sein mathematisches Werk inspirierte viele Generationen von Mathematikern nachhaltig. Unter anderem beeinflusste er die Arbeit von Pierre-Simon Laplace, Joseph-Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauß, Carl Gustav Jacobi, Niels Henrik Abel, Évariste Galois, Karl Weierstraß und Bernhard Riemann.[70][71]

Mathematische Notationen

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Euler hat in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen eingeführt. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion ein[72] und schrieb als erster f(x), um die Funktion f zu bezeichnen, die auf das Argument x angewandt wird.

Der Funktionsbegriff

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Allgemeine Definitionen einer Funktion stellt Euler erstmals in seinen Schriften über die Analysis des Unendlichen Introductio in Analysin infinitorum (1748, E101, 1745 verfasst[73]) und über die Differentialrechnung Institutiones calculi differentialis (1755, E212, verfasst 1748[74]) an den Anfang.[75] So wie für Euler die ganze Mathematik eine Lehre zur Analyse von Größen (als lateinische quantitas) darstellte, so bezeichnet er die Funktion als eine ‹Abhängigkeit einer Größe von einer anderen›.[76] Besonders in diesem Funktionsbegriff zeigt sich der ‚mechanisch‘ geprägte Hintergrund, den Euler von seinen Lehrern wie aus seinen Lektüren übernommen hatte.[77] Während er aber in der erstgenannten Schrift noch rechnerische Abhängigkeiten für die Variablen erklärt – und damit noch im Bereich des arithmetischen Funktionsbegriffs nach seinem Lehrer Joh. Bernoulli bleibt,[78] sind es in der zweiten Schrift schon beliebige Arten von bestimmenden Abhängigkeiten zwischen den Variablen. Damit eröffnete Euler bewusst den Weg zum Funktional und ermöglicht die Zuordnung zu infinitesimalen Größen.[79]

„Wenn daher die variable Größe bezeichnet, so werden alle Größen, die in einer beliebigen Art von abhängen, oder aber die von ihr bestimmt werden, Funktionen genannt.“

Euler (1755)[80]

Von Euler stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe e für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe i zur Bezeichnung der imaginären Einheit.[81] Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.[82]

Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit.

Wegweisend waren vor allen Dingen sein Beweis der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion

sowie seine Lösung des sog. Basler Problems:

Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel anhand des Einheitskreises

Euler verwendete erstmals die Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für komplexe Zahlen. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert.[81] Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl (im Bogenmaß) besagt die Eulersche Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion diese Gleichung erfüllt:

Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die Eulersche Identität bekannt:

Der Pentagonalzahlensatz aus der Funktionentheorie und Kombinatorik ist eine weitere Entdeckung von Leonhard Euler. Er besagt, dass folgendes Eulersches Produkt als Maclaurinsche Summenreihe mit Hilfe der Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten dargestellt werden kann:

Für alle komplexen Zahlen mit ist diese Formel gültig. Später wurde der Pentagonalzahlensatz ebenso von Carl Gustav Jacobi und Srinivasa Ramanujan in ihren Werken behandelt.

Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, einem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.

Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produktformel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Er verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes.[83]

Euler bewies den kleinen fermatschen Satz, Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate, und er leistete wichtige Beiträge zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz. Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. Euler vermutete auch das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie. 1772 hatte Euler bewiesen, dass 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl.[84]

Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).

Variationsrechnung

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Eulers «Methode, Kurven zu finden»

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Leonhard Euler beschäftigte sich bereits seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere, vor allem in den frühen 1730ern von J. Hermann ermuntert,[85] mit der mathematischen Beschreibung von einzelnen Kurven und ihren Variationen. Die analytische Problemstellung hatte häufig in der Mechanik ihren Ursprung: Spezielle Forschungsfragen und Ergebnisse zu Beschleunigungen und Kraftwirkungen, in der Art von Differentialausdrücken und ihnen korrespondierenden Kurven, untersuchte er in diesen Jahren intensiv, auch im Austausch mit seinem freundschaftlichen Kollegen Daniel Bernoulli.[86] Das Jahr 1744 schließlich datiert die Veröffentlichung des epochalen Werks Methodus inveniendi lineas curvas,[87] das Euler schon spätestens 1741 fertiggestellt haben muss.[88] Hierbei handelt es sich nicht nur um die gewünschte Zusammenführung und Vereinheitlichung der vielen Einzelergebnisse auf diesem Gebiet. Es wird vielmehr rückblickend als der ‹Durchbruch zu einer methodischen Variationsrechnung› gesehen.[89][90] Wissenschaftshistoriker sind sich (weitestgehend) einig, in Euler den ‹Schöpfer› dieses neuen Zweigs der Analysis zu sehen.[91][92][93][94][95]

Eulers Figur 3 aus den Methodus Inveniendi (E065)

Die Aufgabenstellung und Motivation zur Variationsrechnung ist ‹ein Stockwerk über der gewöhnlichen Minimum – Maximum – Rechnung›.[96] Es geht nunmehr darum, Kurven bzw. deren Funktionsgleichungen zu bestimmen, die hinsichtlich einer Kenngröße extremal sind. Der Ursprung zu dieser Fragestellung war in der sich entwickelnden Analysis von allgemeinem Forschungsinteresse und wurde intuitiv mit der abstrakteren ‹Lehre von den Kurven›, wie es zur Zeit Eulers noch hieß,[97] verbunden. Historisch nahm sie in dem von Eulers Lehrer Johann Bernoulli gestellten Problem der Brachistochrone ihren Anfang.[98][99] Daneben gab es viele weitere isoperimetrische Probleme, wie Euler sie nannte,[100] die einer allgemeinen methodischen Behandlung bedurften. Gesucht war ein zusammenfassendes, analytisches Verfahren, und Euler hat es in der Variationsrechnung gefunden.[101] Im Resultat findet sich in den Methodus inveniendi lineas curvas erstmals diesas Instrument der Euler-Lagrange-Gleichung.

Im Anschluss an die Deduktion dieser allgemeinen Variationsgleichung wendet Euler sie dann auf zahlreiche Kurvenintegrale an (Exempla), wobei er dabei zusätzliche Randbedingungen an die Art der fraglichen Kurven zu stellen weiss. Der Herausgeber der Variationsrechnung in den Euleri Opera Omnia Constantin Carathéodory bemerkt dazu: «Der größte Reiz des Lehrbuches von 1744 besteht in der Behandlung von etwa 66 Einzelproblemen, die fast jede Seite dieses Werkes beleben».[102] Hierunter findet sich, wie ein beiläufiges Lemma, die Lösung zur Aufgabe der Brachistochrone: Sie tritt als ein Spezialfall der Variation über eine ganze Kurvenschar von Potenzfunktionen auf.[103][104]

Verfechter der geometrischen Verfahrensweise

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Das Beweisverfahren zur Euler-Lagrange-Gleichung bleibt in den Methodus inveniendi ‚geometrisch‘ (siehe etwa ‚Fig. 3‘ hier). Für Euler wie für Lagrange war es daher eine von ihm nicht abgeschlossene mathematische Methode, die erst vollständig in der Analysis aufzugehen habe.[105][106] Hingegen gibt Euler an einer Stelle der Schrift zu bedenken, dass nur die Verbindung von formalen Ausdrücken der Analysis mit geometrischen Figuren und Kurven «vortheilhaft» sei.

„Denn wenn man von den Curven abstrahirt und nur reine Größen betrachtet, wo werden einmal die Aufgaben schwerverständlich und unelegant, auch fällt ihr Nutzen und Werth weniger in die Augen, dann aber würde die Methode diese Aufgaben zu lösen schwerverständlich und mühsam sein, wenn sie bloß bei abstracten Größen auseinandergesetzt werden würde, während sie durch den Anblick der Figuren und die Darstellung der Größen durch Strecken außerordentlich unterstützt und dem Verständnisse näher gebracht wird.“

L. Euler: Methodus Inveniendi (1744/1894)[107]

Damit erwies sich Euler als ein Befürworter einer synthetischen Herangehensweise an die angewandte Mathematik,[108] wohingegen Lagrange und später Jacobi die analytische Methode in der Mechanik auszubauen suchten. Nicht zuletzt darf in Eulers Variationsrechnung ein weiterer Beleg für sein beständiges Bemühen um Allgemeinverständlichkeit in allen Hypothesen, Theoremen und Deduktionen gesehen werden.

„Euler ist nie »Professor« in unserem Sinn des Wortes gewesen, er hat nie einen universitären Lehrstuhl innegehabt. Aber wie kaum ein anderer hat er als Lehrer gewirkt, europaweit, und zwar durch seine mustergültigen Lehrbücher, vor allem durch seine Lehrbücher der Analysis, die rasch zur Pflichtlektüre der angehenden Mathematiker wurden. Euler schrieb, um verstanden zu werden; er habe, hieß es,[109] alles gehabt, was das vollkommene Genie ausmache, nur nicht die Unverständlichkeit.“

H. Heuser: (2008)[110]

Umso mehr bewunderten Mathematiker seither die ‹klare und durchsichtige Einführung› in die Variationsrechnung, die dieses einzelne Werk auszeichnet.[111] Als Lehrbuch konzipiert, bestätigt die Schrift in besonderem Masse das grundlegend didaktische Denken und Vorgehen in Eulers Mathematik. Nach C. Carathéodory handelt es sich um «eines der schönsten mathematischen Werke, die je geschrieben worden sind. Wie sehr diese Lehrbuch späteren Generationen immer wieder als Muster gedient hat, […] kann nicht genügend betont werden».[112]

«Ergänzungen»

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Von historisch einzigartiger Bedeutung ist auch der umfangreiche Anhang oder Ergänzungsteil (Additamenta) zur Schrift Methodus Inveniendi Lineas Curvas.[113]

Die Erste Ergänzung trägt den Titel Von den elastischen Kurven (lateinisch: Additamentum I: De Curvis Elasticis) und bildet die erste umfassende Behandlung der mathematischen Elastizitätstheorie. Sie errichtet die Dehnungsformen elastischer Körper aus dem Variationsproblem eines einzigen minimalen Potenzials der verzerrenden Kräfte.[114][115] Im Detail wird von Euler jede Kurve elastisch genannt, «welche die Gestalt einer an zwei Punkten aufgelegten Feder angiebt. Sie hat die Eigenschaft, den Ausdruck zu einem Minimum zu machen».[116] Hierbei bezeichnet den Krümmungsradius und ein infinitesimales Element der elastischen Biegelinie (Durchbiegung) . Diese Variationsannahme, ursprünglich eine Hypothese von Daniel Bernoulli,[117] hat bis heute allgemeinen Bestand im Variationskalkül für Elastika.[118]

Der erste Ergänzungsteil war Anlass und Ausgangspunkt eines umfassenden Kommentarbandes der Eulerschen Opera Omnia durch den Mechanik- und Eulerexperten Clifford Truesdell. Der erste Anhang allein wird dort als ‹zeitloses Meisterwerk› bezeichnet.[119] Er wurde als eigener Klassiker in die Ostwald-Reihe der exakten Wissenschaften aufgenommen.[120]

Die Zweite Ergänzung der Methodus Inveniendi[121] enthält die «älteste Fassung des Prinzips der kleinsten Aktion»[122] und einiger mathematischer Anwendungen desselben. Viele Passagen des Anhangs belegen Eulers philosophische Überzeugung in die Gültigkeit eines minimalen Aktionsprinzips für die gesamte Natur.[123]

Die Verbindung des zweiten Anhangs zur Variationsrechnung besteht darin, dass Euler erstmals das Aktionsprinzip durch die mechanische Größe der Aktion – gelegentlich auch Wirkung genannt – bezeichnet. In heutige Notation[124] übersetzt besagt es, dass für einen Körper der Masse , dessen Punkte alle die Geschwindigkeit haben, das Wegintegral zwischen zwei Punkten minimal wird. Die Größe wird hierbei Aktion bezeichnet. In Eulers Worten:

„Nun sage ich, dass die vom Körper beschriebene Linie so beschaffen sein wird, dass unter allen anderen gekrümmten Linien, die in denselben Grenzen enthalten sind, [ …] ein Minimum ist.“

L. Euler: Methodus Inveniendi (1744)[125]

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem Prinzip der kleinsten Aktion zu deduzieren.

Angewandte Mathematik

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Zu Eulers größten Erfolgen gehören analytische Lösungen praktischer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der Bernoulli-Zahlen, Fourier-Reihen, Euler-Zahlen, der Konstanten e und π, der Kettenbrüche und Integrale. Er integrierte die Differentialrechnung von Leibniz mit der Method of Fluxions (Newtons Beschreibung der Ableitung) und entwickelte Techniken, die die Anwendung der Mathematik auf physikalische Probleme erleichterten. Er machte große Fortschritte bei der Verbesserung der numerischen Approximation von Integralen. Die bemerkenswertesten dieser Annäherungen sind das explizite Euler-Verfahren und die Euler-Maclaurin-Formel. Er erkannte den Nutzen von Differentialgleichungen und führte die Euler-Mascheroni-Konstante ein:

die u. a. beim Zipfschen Gesetz, aber auch in zahlreichen weiteren Feldern, eine Rolle spielt. In anderen Arbeiten setzte Euler sich mit der Anwendung mathematischer Methoden in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (zum Beispiel Bevölkerungswachstum,[126] Rentenrechnung, Lotterien,[127] Lebenserwartung und Lebensversicherung[128]). Wegen seiner Beiträge zur Populationsdynamik ist die Euler-Lotka-Gleichung zum Teil nach ihm benannt.

Graphentheorie und Topologie

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Karte von Königsberg zur Zeit Eulers: zu sehen sind die Grundrisse der Sieben Königsberger Brücken und der Fluss Pregel. Die Brücken sind mit Farbe hervorgehoben.

Im Jahr 1735[129] (1736 erschienen und 1741 veröffentlicht)[130] mit der Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis[131] präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Stadt Königsberg in Preußen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, da es keinen Eulerkreis für diesen Graphen gibt. Diese Lösung Eulers gilt als der erste Satz der Graphentheorie, insbesondere der planaren Graphentheorie.[132]

Euler entdeckte die Formel bezüglich Anzahl der Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) eines konvexen Polyeders,[133] eines planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang.[134] Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy[135] und L’Huilier,[136] markierte den Beginn der Topologie.[137]

Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden.[138] Euler verwandte sie in den Briefen an eine deutsche Prinzessin 101 bis 108, die im Februar und März 1761 verfasst wurden. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären.[139]

Physik und Astronomie

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Euler hat sich in sehr vielen klassischen Gebieten der Physik verdient gemacht, allem voran in den Hauptzweigen der Klassischen Mechanik.

In der frühen Schrift Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und in seine späteren Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wandte Euler die Mathematik auf Fragen der Physik an. Die neue Ausrichtung, die Mechanik zu mathematisieren, wird von Euler selbst in seiner ersten Mechanik programmatisch erklärt und dann in der gesamten Folge seiner mechanischen Schriften konsequent fortgesetzt.[140] Euler ging es vorrangig darum, die Mechanik auf die Mittel der Analysis (im heutigen Verständnis) anzuwenden und sie so nach, wie er sagt, analytischer Methode umzugestalten und zu ergänzen.[141][142] Insbesondere finden sich bei Euler erstmals Differentialgleichungen zu einzelnen Grundgesetzen der Mechanik starrer und elastischer Körper sowie zur Fluidmechanik.[143]

„Was aber von allen, ohne Anwendung der Analysis verfassten Schriften gilt, trifft vorzugsweise die Werke der Mechanik. Der Leser wird zwar von der Wahrheit der vorgetragenen Sätze überzeugt, allein er erlangt keine hinreichend klare und bestimmte Kenntniss derselben. Werden daher dieselben Fragen nur ein wenig abgeändert, so wird er sie mit Kräften kaum beantworten können; wenn er nicht zur Analysis seine Zuflucht nimmt, und dieselben Sätze nach der analytischen Methode entwickelt.“

Leonhard Euler: 1736.[144]

Diese analytische Umgestaltung in Eulers Werk wurde schon frühzeitig von Condorcet als eine ‹Revolution› in der Mechanik gesehen.[145] Sie gehört zu dem allgemeinen und vorrangigen Beitrag Eulers in der Mechanik, der ihm seither historisch zugeeignet wird.[146] Die methodischen Erneuerung ebnete den Weg zur Analytischen Mechanik, indem sie den damals schon als ‹steif› und ‹schwerfällig› wahrgenommenen, geometrischen Beweiskonstruktionen ein schnelleres und allgemeineres Verfahren an die Hand gab. Euler hat seit seinem ersten Buch und Meisterwerk, die Mechanica von 1736, uneingeschränkten Gebrauch von der Analysis gemacht und sie im Gebrauch erweitert.[147]

In Eulers Mechanica (E15[148] und E16[149]) sind die allgemeinen Grundgrößen der Punktmechanik in der Fassung Newtons wiederzufinden und als quantitative Bewegungsmasse (das ist die traditionelle Quantitas Motus) bereits vollständig anerkannt.[150] Euler formuliert von Beginn an den Kraftbetrag auf eine Punktmasse als infinitesimale Grösse der Bewegungsänderung , um sie der Analysis zugänglich zu machen:

und leitet damit die mechanische Energieerhaltung als Folgerung her:

.[151]

Zusammen mit der analytischen Methode für die Mechanik formuliert Euler dort auch eine Art Programm, demgemäss die Mechanik nach der „Beschaffenheit der Körper“ zu gestalten wäre. Es ist eine Einteilung nach Materietyp, die seitdem in der Technischen Mechanik beibehalten wurde.

„Zuerst betrachten wir unendlich kleine Körper, welche man als Punkte ansehen kann [d.i. die Punktmechanik]. Hierauf gehen wir zu Körpern von endlicher Größe über, welche fest sind und ihre Gestalt nicht verändern können [d. i. die Mechanik starrer Körper]. Drittens behandeln wir biegsame Körper. Viertens diejenigen, welche eine Ausdehnung und Zusammensetzung zulassen [d.i. Elastika in zwei und drei Dimensionen]. Fünftens untersuchen wir die Bewegung mehrere loser Körper [d.i. die Mechanik gasförmiger Stoffe…] Sechstens müssen wir die Bewegung flüssiger Körper behandeln [d.i. die Fluidmechanik].“

Leonhard Euler: 1736.[152]

Euler mechanische Schriften zeigen neue Resultate in allen sechs Bereichen der Mechanik.

Am 3. September 1750 las Euler vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein Mémoire,[153] in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der „Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation“ als eigene und neue Entdeckung vorstellte.[154] Im Keim werden hier die heute sog. Eulerschen Gleichungen formuliert.

Im Jahr 1757 veröffentlichte er wichtige Gleichungen, die den Fluss reibungsfreier elastischer Fluide beschreiben. Diese sind heute als Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik bekannt. Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen).

Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung, die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.

Analytische Mechanik: das Prinzip der kleinsten Aktion

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Euler versteht die analytische Behandlung der Mechanik nach dem Prinzip der kleinsten Aktion als eine Umwandlung der Mechanik in ein theoretisches Wissen a priori.[155] Es könne hingegen die synthetische Mechanik, die mit geometrischen Veranschaulichungen a posteriori operiert, nicht ersetzen. Das formuliert Euler folgendermaßen:

„Weil ja alle Wirkungen der Natur einem gewissen Gesetz des Maximums oder Minimums folgen, besteht kein Zweifel, dass bei gekrümmten Linien, welche bewegte Körper, wenn sie von irgendwelchen Kräften beunruhigt werden, beschreiben, eine gewisse Eigenschaft des Maximums oder Minimums auftritt. Welche diese Eigenschaft aber ist, scheint aus metaphysischen Prinzipien a priori nicht so leicht zu bestimmen; weil es aber möglich ist, diese Kurven selbst mit Hilfe der direkten Methode zu finden, wird daher, nachdem entsprechende Aufmerksamkeit walten gelassen wurde, das selbst, was in diesen Kurven ein Maximum oder Minimum ist, gefolgert werden können. Es muss aber hauptsächlich der Effekt betrachtet werden, der aus den wirkenden Kräften entsteht […]. [Hingegen] wird es sogar, nachdem ihre Gültigkeit aufgezeigt worden ist, leichter sein, nach tieferen Naturgesetzen und den Zweck betreffenden Gründen zu suchen und dieses Versicherte mit strengsten Begründungen zu untermauern.“

Leonhard Euler: Methodus Inveniendi (1744)[156]

Die analytische Herangehensweise an die Mechanik und Physik ist damit eine rückwärts gerichtete Absicherung, um das Erforschen der kausalen mechanische Ursachen in der Natur mit ihren Zweckursachen, die für Euler (wie schon für Leibniz und Maupertuis) a priori gültig und evident sind, zu vereinbaren.

Formal handelt es sich nach Euler und allen Mathematikern nach ihm um eine mathematische Variationsaufgabe: Es ist diejenige Bahnkurve zu finden, bei der immer die Aktionsgröße ein Minimum bildet. Das ist das Minimalprinzip der kleinsten Aktion, formal

.

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem Prinzip der kleinsten Aktion zu deduzieren. Unter anderem die Bahnkurven von Wurfprojektilen und das Zentralkraftproblem werden behandelt.[157] Euler zeigt, wie dort auf einfache Weise auf die Newtonschen Kraftkomponenten geschlossen werden kann.

Einige Wissenschaftshistoriker sehen in Eulers eigenem, nachträglichen Behandeln[158] von Kurven den Grund, weshalb er sein Minimalprinzip der kleinsten Aktion nicht an den Anfang der gesamten Mechanik stellt, auch später nicht, als er bereits die analytischen Gesetze hierfür gefunden hat. Es schien für einen Mathematiker wie Euler als zu vage und unverständlich, wie das mathematische Instrument auf einem metaphysischen Prinzip a priori beruhen könne.[159] Im analytischen Aufbau ist hingegen das Prinzip der kleinsten Aktion, zum Anfang der Mechanik zu zählen.[160]

Euler selbst beanspruchte keine Priorität in der Aufstellung des metaphysischen Aktionsprinzips, dessen Begriff und allgemeine Formulierung er seinem Amtskollegen in Berlin P. L. M. de Maupertuis vollständig zuerkannte.[161] In ihrer mathematischen Umsetzung auf die Theorie der Kurven behauptet Euler hingegen für sich eine Originalität.[162][163][164]

Dieser analytische Teil, die Beschränkung des Prinzips auf mathematische Fragen, ist auch derjenige, der von kommenden Mathematikern zugebilligt und weiter verfolgt wurde. Allen voran sind dabei J.-L. Lagrange und C. G. Jacobi zu nennen. Jacobi selbst hat Eulers Prinzip der kleinsten Aktion (oder Wirkung) später zeitunabhängig formuliert.[165]

Weitere Gebiete der Physik

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Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe.[166] Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei.[167]

In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern. Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts, die damals vorherrschend war, in den Opticks.[168] Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er-Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde,[169] zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.[170]

1745 übersetzte Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche, wobei er dessen Umfang stark erweiterte. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.[171]

Weniger bekannt sind seine Arbeiten zur Hydrodynamik und zum Stabilitätskriterium von Schiffen,[172] in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte.[173]

Beachtlich ist, dass Euler auf dem Gebiet der technischen Mechanik und Schiffswissenschaft nicht nur der analytische Geist gewesen war, der sich in seinen Konstruktionen auf die Richtigkeit des mathematischen Beweises verlassen hätte. Eulers Nachlass in Petersburg konnte G. Michailow vor einigen Jahrzehnten entnehmen, dass er bis ins hohe Alter gezielt Experimente zu seinen Theorien entworfen und selbst durchgeführt hat, so etwa zur Brückentheorie oder zu den Grundlagen des Schiffbaus.[174]

Mathematische Musiktheorie

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Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa 30.000 Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.[175] Einer seiner Schwerpunkte war die Zuordnung eines „Grades der Lieblichkeit“ zu Mehrklängen wie musikalischen Intervallen oder auch Akkorden wie Dreiklängen. Dieser kann abstrakt als zahlentheoretische Funktion aufgefasst werden und impliziert mit steigenden Werten eine erhöhte Komplexität (also fallende Annehmlichkeit) des Klangs.[176]

Populäre Darstellungen und Themen

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Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte seine populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d’Allemagne von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelt.

Darüber hinaus widmete er sich Aufgaben der Schachmathematik, zum Beispiel dem Springerproblem.[177] Er ist der Erfinder des lateinischen Quadrats, einer Vorform des Sudoku.[178]

Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion

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Der allgemein und in Prinzipien denkende Geist Leonhard Euler beschäftigte sich auch mit den naturphilosophischen Fragen und Positionen seiner Zeit. Nach Condorcet hat Euler von seinen Mentoren und Lehrern aus den Basler Studienzeiten, allen voran von Johann Bernoulli, die Auffassung übernommen, dass ein physikalisches Phänomen nur durch eine naturphilosophische und metaphysische Betrachtung vollständig erfasst werden könne.[179] Dieses Bestreben ist im gesamten Werk Eulers verankert: In jedem physikalischen Bericht, in jedem mechanischen Mémoire, und erst recht in jedem Buch Eulers finden sich grundsätzliche Einleitungen zum Themenbereich, die eine naturphilosophische Perspektive eröffnen. Sie sind zwar vielfach nur ein Beiwerk zur mathematischen Arbeit, für den allgemeinen Kontext aber unverzichtbar.

Ebenso typisch ist, dass Euler nur zur wissenschaftlichen Veröffentlichung seiner konzeptuellen Beiträge motiviert war, wenn er von einzelnen Fehlvorstellungen in den überlieferten Lehrauffassungen überzeugt war.[180][181] Nicht das geschlossene Begriffssystem, sondern die aspektbezogene Kritik und die mathematische Ausformulierung der naturphilosophischen Grundbegriffe – und das waren damals die der klassischen Mechanik – finden Eulers Forschungsinteresse.[182][183]

Wirklichkeitsbezug der Mathematik

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Und hierbei gelangen ihm originelle wie neuartige Sichtweisen.[184] Sie lassen sich allesamt mit Eulers Überzeugung kennzeichnen, dass die mathematische Analyse unmittelbaren Realitätsbezug haben muss. Mathematik ist für ihn das vorrangige Instrument, um über naturphilosophische Fragen zu Raum, Zeit und Materie sicher entscheiden und metaphysischen Spekulationen, denen er selbst nur wenig abgewinnen konnte,[185] ein Ende bereiten zu können. Die Mathematisierung der Grundbegriffe und -gesetze, mit denen die Natur beschrieben wird, ist für Euler ein wesentlicher Schritt dahin.

„Und so schützt die Mathematik uns besonders gegen die Fehler der Sinne und belehrt uns sogar über die tatsächlichen Objekte, die über die Sinne wahrgenommen werden, mal im richtigen Verhältnis, und mal wie sie erscheinen. Und diese sicherste aller Wissenschaften bringt Vorgaben ein, die von denen befolgt werden, welche vor den Illusionen der Sinne geschützt sind. Auf diese Weise ist sie von sämtlichen Widerworten fern geblieben, so dass ihre Lehre vor Metaphysikern bewahrt wird, die vielmehr noch größeren Argwohn erzeugen.“

Leonhard Euler: 1755[186]

„Allerdings hoffe ich dadurch zu dem Ziel zu gelangen, dass wenn noch Schwierigkeiten bestehen bleiben, sie nicht mehr von Seiten der Mechanik auftreten werden, sondern allein von Seiten der Analysis: wobei diese Wissenschaft noch nicht zu einer Stufe der Perfektion emporgehoben wurde, was notwendig wäre, um analytische Formeln zu entwickeln.“

Leonhard Euler: 1757[187]

Mit den folgenden Beiträgen, die Kontinuumsanschauung, die Undurchdringlichkeit der Materie und das raumzeitliche Anschauungsvermögen betreffend, konnte Euler vor allem die metaphysikkritische Haltung in der Transzendentalphilosophie Immanuel Kants wesentlich beeinflussen.[188][189] Auch für Euler galten diese Elemente als ‚metaphysische Anfangsgründe‘, die eine Gültigkeit vor jeder Erfahrung haben.

Die Kontinuitätsauffassung

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Viele grundlegende Vorstellungen Eulers zum Aufbau der Materie haben ihren Ursprung in der Naturphilosophie Descartes’ und Leibniz’, wenn vielleicht nicht durch eigene Lektüre, so doch über die Unterrichtung des Cartesianers Johann Bernoulli.[190] So ist auch Euler von der uneingeschränkten Gültigkeit des Kontinuitätsprinzips (nach Leibniz und Bernoulli) in allen Bewegungsabläufen überzeugt und stellt sie in seinen Aufbauten zur Mechanik der Fluida und der Elastika an den Anfang.

Die Natur macht keine SprüngeNatura non facit saltus – so der Leitgedanke der Kontinuumsauffassung.[191] Materie besitzt demnach eine allumspannende Dichte und Ausdehnung, aus der alle mechanischen Vorgänge durch Stöße und Kontaktkräfte in der Natur entstehen.

„Ich lege also fest, dass inmitten der Bewegung des Fluids vom Fluid her kein freier Raum zurückgelassen wird, sondern die Kontinuität in ihm beständig erhalten bleibt.“

Leonhard Euler: 1761[192]

Ein Vakuum, ein leerer Raum ist (wie schon für Descartes und Leibniz) nicht denkbar. Die inneren Wechselwirkungen dieses materiellen Kontinuums treten zwischen „subtilen[193] und dicht gedrängten Partikeln auf, wie eine Art ideale Flüssigkeit, welche fluide und elastische Zustandsänderungen hervorbringen. Damit schließt Euler allerdings nicht aus, dass es auch auf größerer Ebene „grobe“ atomare Elemente geben muss, welche die Grundlage einer Molekularphysik bilden und die Vielfalt der Stoffe erklären würden.[194]

„Diese Partikel [der groben Materie] sind somit von endlicher Größe, folglich zusammengesetzt aus noch kleineren Teilen, und somit sehr wohl von diesen zu unterscheiden, welche unter dem Namen der Elemente eingeschlossen werden.“

Leonhard Euler: 1746[195]

Materie ist nach der Kontinuitätsauffassung bis ins Unendliche teilbar.[196] Es ist eine wesentliche Eigenschaft aller Körper, insofern diese im Raum ausgedehnt sind.[197][198] Hierbei findet Euler in den Infinitesimalen wie etwa und ihren Zahlwerten die mathematischen Repräsentanten für unendlich kleine, materielle Partikel. Jedes Integral bringt entsprechend die endliche Größe über dem materiellen Feld zum Ausdruck.[199] Hieraus erwachsen auch Eulers ablehnende Bedenken gegen kraftbegabte Letztelemente der Materie, wie sie in der Monadenlehre vorkommen. Man findet diese Kritik vor allem in seiner Schrift Gedancken von den Elementen der Cörper von 1746.[200]

Begründung der Kontinuumsmechanik

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Nach Euler ist die mathematische Kontinuität Abbild der materiellen Kontinuumshypothese. Damit gilt Euler als Begründer der formalen Konfiguration in der Kontinuumsmechanik. Jedes Partikel mit Anfangskoordinaten im Raum ist nun durch stetige und differenzierbare Ortsfunktionen beschreibbar.[201][202] In demselben Zusammenhang der Mathematisierung des Feldes gelingt Euler zugleich die Formulierung der allgemeinen Kontinuitätsgleichung in der Form[203][204][205]

und .

Mit dem mathematischen Kunstgriff der Kontinuumshypothese hat Euler wohl „nicht zur Fluidmechanik beigetragen, sondern sie erfunden“, wie J. L. Lagrange gesagt haben soll.[206]

Undurchdringlichkeit

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Euler betont an vielen Stellen, dass die Eindeutigkeit der Partikelkonfiguration in einem fluiden Medium gewährleistet werden muss. Andernfalls wäre die Undurchdringlichkeit der Materie verletzt, was nach Eulers bzw. nach Cartesischer Auffassung unvorstellbar ist.

„Die Undurchdringlichkeit ist diejenige Eigenschaft, vermöge welcher zwei oder mehrere Körper sich nicht an demselben Ort befinden können, sie erstreckt sich selbst auf die kleinsten Elemente der Körper, so dass nicht einmal zwei solche Elemente an demselben Orte existieren können.“

Leonhard Euler: 1765[207]

Neben Trägheit und Ausdehnung gehört Undurchdringlichkeit in Eulers Naturphilosophie zu den wesentlichen metaphysischen Eigenschaften der Materie. Sie ist nicht messbar oder quantifizierbar, da auch überabzählbare Infinitesimalen von Körpern darunter fallen. Sie bildet den Letztgrund aller physischen Kräfte.[208][209][210][211]

Die logische Notwendigkeit der Undurchdringlichkeit aus dem Kontinuitätsprinzip ist zwar von Euler an vielen Stellen formuliert worden. Der logische bzw. analytische Beweis wurde allerdings weit später erbracht.[212]

Idealität der Raumzeit

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In der kleinen Schrift Réflexions sur l’espace et le temps von 1750[213] und später in seiner Theoria Motus von 1765 stellt Euler die damaligen Argumente für und gegen die Realität einer absoluten Raumzeit (u. a. nach Newton und entgegen Leibniz) in Frage. Jede raumzeitliche Konzeption der sichtbaren Gegenstände müsse deren Realität erkenntnistheoretisch vorausgehen. Der ‚Ort‘ eines einzeln betrachteten Körpers habe eine von dem Körper selbst eigenständige und mehrdeutige Realität:

„Wie aber diese Ruhe oder diese Bewegung beschaffen sein wird, können wir, da die Änderung der Lage in Beziehung auf andere Körper hier nicht stattfindet, uns nicht einmal denken; wenn wir nicht einen absoluten Raum annehmen, in welchem unser Körper einen gewissen Ort einnehmen wird und von wo er nach andern Orten übergehen kann.“

Leonhard Euler: 1765[214]

Hinsichtlich dieser Frage greift Euler der transzendentalen Ästhetik I. Kants voraus.[215]

Teleologische Sicht auf die Natur

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Euler teilte eine, wie man mit Kant sagt, physiko-teleologische Sichtweise:[216][217] dass jede Wirkung der Natur nach einer zweckdienlichen Ordnung, einer höheren Vernunft gemäß, eingerichtet sein, Alles in der Natur einem höheren Zweck dienen müsse. Dieser teleologische Hintergrund hat seine prominenteste und damals viel beachtete Fassung in der Naturphilosophie G. W. Leibniz’.[218]

Hierzu gehört im Besonderen, dass Alles in der Natur nach einem rational zugänglichen «Sparsamkeitsprinzip» eingerichtet sein müsse.[219][220]

«Immer nämlich gibt es in den Dingen ein Prinzip der Bestimmung, welches vom Maximum oder Minimum hergenommen ist, daß nämlich die größte Wirkung hervorgebracht werde mit dem kleinsten Aufwande so zu sagen» (Leibniz).[221]
«Tritt in der Natur irgendeine Änderung ein, so ist die für diese Änderung notwendige Aktionsmenge die kleinstmögliche» (Maupertuis).[222]

Weder für diese naturphilosophische Position noch für ihre mathematisch-analytische Konzeption[223] erhob Euler irgendeine Priorität. So hat er mehrere philosophische Verteidigungsschriften verfasst, in denen er seinen Kollegen P. de Maupertuis zum Urheber des Prinzips der kleinsten Aktion erklärt.[224][225] Hingegen lassen sich historische Belege finden, die Euler als gleichberechtigten Entdecker neben Maupertuis auszeichnen.[226][227]

Ein frühes und häufig wiedergegebenes Bekenntnis Eulers zu einem zielgerichteten Wirken und deren Erkennbarkeit in der Natur findet man im ersten Additamentum (De Curvis Elasticis) seiner epochalen Schrift Methodus inveniendi lineas curvas (1744, E065), woraus die folgende philosophische Exposition stammt. Sie enthält zugleich die verallgemeinerte Vorstellung (und die auch auf Leibniz zurückgeht),[228] dass jeder geometrischen Aufgabe eine eigene Erhaltungs-Größe (‹Quantitas›) korrespondieren müsse, die auf ein Extremum hin zu betrachten ist.

„Schon längst haben einige hervorragende Mathematiker eingesehen, daß die in diesem Buch vorgetragene Methode nicht nur in der Analysis, sondern auch bei der Lösung physikalischer Probleme von Nutzen sei. Da nämlich der Plan des gesamten Universums der vollkommenste ist und von dem weisesten Schöpfer festgelegt worden ist, so geschieht nichts auf der Welt, dem nicht irgendein Verhältnis des Maximums oder Minimums zugrunde liegt. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt aus den Endursachen mit Hilfe der Methode der Maxima und Minima gleich gut bestimmt werden können wie aus den bewirkenden Ursachen. [… Dafür] wird man danach streben müssen, daß in jeder Art naturwissenschaftlicher Fragen die Größe bestimmt werde, die einen größten oder kleinsten Wert annimmt. Diese Aufgabe scheint mehr zur Philosophie als zur Mathematik zu gehören.“

L. Euler: Methodus Inveniendi (1744/1910)[229]

Euler nahm für sich in Anspruch, nachträglich oder empirisch dieses universell angenommene Prinzip der kleinsten Aktion vielfältig und ohne Ausnahmen bestätigt zu haben, indem er nach dieser analytischen Methode viele materielle Kurven der Mechanik und Statik hatte finden bzw. wieder auffinden können. In einem formalen Sinn, zu einer allgemeinen Mechanik und Naturbetrachtung reichend, bildet es neben dem Prinzip der Undurchdringlichkeit[230] einen Grundpfeiler seines naturphilosophischen Denkens.[231]

Religiöse Überzeugungen

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Euler und sein Freund Daniel Bernoulli lehnten beide die Monadologie von Leibniz und die Philosophie von Christian Wolff ab.[232] Euler war davon überzeugt, dass Wissen (zumindest in Teilen) auf präzisen quantitativen Gesetzen beruht, etwas, was die Monadologie und die Wolffsche Wissenschaft nicht zu leisten vermochten. Eulers religiöse Neigungen könnten einen Einfluss auf seine Abneigung gegen diese Lehre gehabt haben; er ging sogar so weit, Wolffs Ideen als „heidnisch und atheistisch“ zu bezeichnen.[233] Eine religiöse Überzeugung im Sinne des reformierten Glaubens wurde auch in seiner Grabrede betont.[234] Dies macht verständlich, dass er und der Aufklärer Voltaire, zeitgleich am preußischen Hof, keinen Konsens bezüglich Weltanschauung fanden.

In einem Brief vom August 1736 an den Danziger Mathematiker Karl Leonhard Gottlieb Ehler begann Euler, der wissenschaftliche Streitigkeiten meist vermied, vorsichtig mit der Kritik an Christian Wolffs Philosophia prima sive ontologia (1729), Cosmologia generalis (1731) und der «Theorie der positiven und negativen Unendlichkeit», die in der letzten Ausgabe von Elementa matheseos universae (1710) gegeben wurde.[235] Er akzeptierte nicht die Art und Weise, wie Wolff bei Verwendung der Regel von de L’Hospital den Ausdruck interpretierte. Er stimmte zwar mit Leibniz und Wolff darin überein, dass infinitesimale Größen „absolute Nullen“ sind (diese Anschauung Eulers war ein Resultat von dessen „Nullenrechnung“[236]), aber er war formal der Auffassung, dass das Verhältnis nur in besonderen Situationen eine feste „endliche Zahl“ darstellt. Michael Segre zeigt, dass Euler dieses Problem später in seiner Institutiones calculi differentialis (1755) über die Schlussfolgerung und damit aufgriff.[237]

Vieles von dem, was über Eulers religiöse Überzeugungen bekannt ist, lässt sich aus seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin und einem früheren Werk, der Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister, ableiten. Diese Werke zeigen, dass Euler ein gläubiger Christ war, der die Bibel als wegweisend empfand; die Rettung war in erster Linie ein Argument für die göttliche Verbalinspiration.[238] Euler war in aktiven Funktionen in der reformierten Gemeinde tätig.[239] Jegliche Kritiken der Offenbarungslehre (zur Zeit der Aufklärung von P. Bayle und M. Montaigne erwogen) waren für Euler abwegig und fehlerhaft. Euler hatte seine theologischen Auffassungen wohl vom Vater und Pfarrer Paul Euler übernommen und war (nach dem Biografen O. Spieß) darin überzeugt und ernst.[240]

Es gibt eine berühmte Anekdote,[241] die von Eulers Auseinandersetzungen mit säkularen Philosophen über Religion inspiriert wurde und die während Eulers zweiter Amtszeit an der Sankt Petersburger Akademie spielt. In dieser soll Euler gegenüber Denis Diderot als Gottesbeweis das non sequitur: «Mein Herr! , also existiert Gott. Antworten Sie mir!» vorgebracht haben, woraufhin dieser nichts erwidern konnte und Russland gedemütigt verließ. Die Anekdote ist apokryph, da Diderot selbst in der Mathematik forschte.[242] Die Legende wurde offenbar zuerst von Dieudonné Thiébault erzählt (in seinem Buch Mes souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin im Jahr 1801[241]), mit weiteren starken Verzierungen durch Augustus De Morgan.[243][244] Dies geschah möglicherweise, um die religiösen Überzeugungen Eulers hervorzuheben.[241] Für den angeblichen Vorfall liegen jedoch keine zeitgenössischen Quellen vor.[245]

Korrespondenzen

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Euler unterhielt umfangreiche Kontakte und Korrespondenz mit vielen der bedeutendsten mathematischen Wissenschaftler der damaligen Zeit, darunter Christian Goldbach, Alexis Clairaut, Jean d’Alembert, Joseph Louis Lagrange und Pierre Simon Laplace. Es gab eine freundschaftliche Korrespondenz zwischen Euler und Goldbach sowie Euler und Clairaut, die sich mit aktuellen Problemen der Zahlentheorie, der mathematischen Analysis, der Differentialgleichungen, der Strömungsmechanik und der Himmelsmechanik befassten. Weder Meinungsverschiedenheiten noch Ansprüche des einen gegen andere dominierten den Austausch. Sie diskutierten vielmehr alle mathematischen Ideen und Probleme offen, oft schon deutlich vor ihrer Veröffentlichung.

Besonders Euler in Berlin und d’Alembert in Paris hatten über viele Jahre eine umfangreiche mathematische Korrespondenz. Im Jahre 1757 hatten sie dabei schließlich doch eine starke Meinungsverschiedenheit, die zu einer Entfremdung darüber führte, ob diskontinuierliche oder nichtdifferenzierbare Funktionen zulässige Lösungen des Schwingsaitenproblems sind. Auch über die Theorie der Präzession, der Tagundnachtgleichen und der Nutation der Erdachse gab es zwischen ihnen einen Prioritätsstreit. Nachdem d’Alembert 1763 Euler in Berlin besuchte, wurde ihr Verhältnis jedoch wieder vertrauter. 1759 beteiligte sich der junge Lagrange mit einem kontroversen Artikel, der sowohl von Euler als auch von d’Alembert kritisiert wurde, an der Diskussion der Lösungen. Lagrange schloss sich jedoch den meisten von Eulers Ansichten an. 1761 versuchte Lagrange, den Kritiken von d’Alembert und anderen zu begegnen, indem er eine andere Behandlung des Problems der schwingenden Saiten vorsah. Die Debatte dauerte weitere zwanzig Jahre, ohne dass eine Lösung gefunden wurde. Die strittigen Fragen wurden erst gelöst, als Joseph Fourier das Thema im nächsten Jahrhundert aufgriff.

Obwohl Euler einen wichtigen und wegweisenden Beitrag zur Variationsrechnung leistete, machte Lagrange im Alter von 19 Jahren die erste Formulierung der Gleichungen der analytischen Dynamik nach den Prinzipien der Variationsrechnung, und sein Ansatz war Eulers semi-geometrischen Methoden überlegen. So führte das klassische Euler-Lagrange-Variationsproblem der Bestimmung des Extremwertes einer Funktionalanalyse zu der berühmten Euler-Lagrange-Gleichung.[246]

Die wissenschaftliche Korrespondenz fußte in erster Linie auf zahlreichen Briefen. Besonders regen Austausch gab es mit Jean d’Alembert (mind. 39 Briefe), Daniel Bernoulli (mind. 100 Briefe), Johann I Bernoulli (mind. 38 Briefe), Alexis Clairaut (mind. 61 Briefe), Christian Goldbach (mind. 196 Briefe) sowie Pierre Louis Maupertuis (mind. 129 Briefe, davon 124 von Euler).[247]

alternative Beschreibung
Anzahl der Briefwechsel Eulers über die Jahre seines Lebens (diese Angaben stützen sich auf das chronologische Verzeichnis der ca. 3000 Briefe von und an Euler in der Opera omnia IV (Series Auqrta) A. 1, S. 513–554). Die gesamte Korrespondenz Eulers dürfte sich nach vorsichtiger Schätzung auf etwa das Doppelte belaufen.[248]

Legende in oberer Graphik:[248]
A: 1738 erkrankte Euler schwer und verlor die Sehkraft seines rechten Auges.
B: Im Januar 1745 wurde die Berliner Akademie eröffnet, und Euler, der sich seit 1741 in Berlin aufhielt, hatte als Direktor der Mathematischen Klasse viele administrative Arbeiten zu erledigen. Zudem erkrankte er in diesem Jahr ernsthaft.
C: In die Jahre 1751/52 fällt die aufreibende Kontroverse Maupertuis’ mit J. S. Koenig, die den «Akademiestreit» zur Folge hatte.
D: 1753 lässt sich Maupertuis beurlauben und reist nach Frankreich. Euler obliegt – inoffiziell zwar, aber de facto – die Leitung der Akademie.
E: Der Siebenjährige Krieg (1756–1763) unterbindet – in der ersten Hälfte wenigstens – weitgehend den Postverkehr.
F: Eulers Zerwürfnis mit Friedrich II., das schließlich
G: 1766 zur Abreise Eulers nach Petersburg führt.
H: Euler hat sich neu einzurichten, stark behindert durch den sich verschlimmernden Star am linken Auge.
J: 1771 gänzlicher Verlust der Sehkraft (vollständige Erblindung).

Zeitgenössisch

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Eulers Ansehen und Einfluss galten schon zu seinen Lebzeiten als äußerst groß. Etwa zwei Jahrzehnte lang war er der „geistige Führer der gebildeten Kreise“ im protestantischen Teil Deutschlands. Wichtige Dienste leistete er als „goldene Brücke zwischen zwei Akademien“, wovon seine Korrespondenzen ein ebenso eindrückliches Zeugnis ablegen wie die Tatsache, dass während seiner Berliner Zeit 1741–1766 in den Petersburger Akten (den Zeitschriftenbünden der Akademie) 109 Publikationen aus seiner Feder stammten, gegenüber 119 in den Memoires der Preussischen Akademie. Insgesamt gewann Euler zwölf internationale Akademiepreise, die acht Preise seiner Söhne Johann Albrecht (7) und Karl (1), zu denen er entscheidende Beiträge leistete, nicht mitgerechnet. Ludwig XVI. schenkte ihm für seine zweite Schiffstheorie 1000 Rubel, und Katharina II. bescherte ihn mit dem doppelten Betrag.[249]

Eulers erste Mondtheorie hatte eine nicht zu unterschätzende praktische Konsequenz: Der Göttinger Astronom Tobias Mayer stellte 1755 nach Eulers Formeln Mondtafeln zusammen, die gestatteten, die Position des Erdtrabanten und damit die geographische Länge eines Schiffes auf hoher See mit einer damals in der Navigationslehre noch nie erreichten Exaktheit zu bestimmen. Das britische Parlament hatte 1714 einen beachtlichen Geldpreis für die Längenbestimmung auf hoher See unterhalb einer Fehlergrenze von einem halben Grad ausgesetzt. Dieser Preis wurde erstmals 1765 vergeben: Die Witwe Mayers erhielt 3000 Pfund, und Euler für die den Mayerschen Tafeln zugrunde gelegte Theorie 300 Pfund. Diese Mondtafeln wurden in alle Navigationsalmanache aufgenommen und die Methode mehr als ein Jahrhundert lang in der Seefahrt genutzt.[250]

Pierre-Simon Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben:

« Lisez Euler, c’est notre maître à tous! »

„Lest Euler, er ist unser aller Meister!“

Eulers wissenschaftlicher Kollege Nicolas Marquis de Condorcet pflegte über viele Jahre einen privaten Briefwechsel mit Euler und hatte die Entwicklung seiner mathematischen Ergebnisse genau mitverfolgt.[252] Er schrieb eine vielbeachtete Lobrede für Euler, stellvertretend für die Pariser Akademie der Wissenschaften,[253] die in mehreren kommenden Auflagen und Übersetzungen der von ihm neu herausgegebenen Lettres à une princesse d’Allemagne wiederzufinden ist.[254] Darin bemerkt Condorcet, dass durch Eulers mathematisches Werk eine ‚Revolution‘, ein Umsturz in der Bedeutung der Algebra und Analysis für die Mathematik einsetzte. Galten zuvor noch anschaulich-geometrische Methoden als die einzig überzeugenden, so erhielten die Algebra und Infinitesimalrechnung (Analysis) durch Eulers Werk erst diejenige Verständlichkeit und Relevanz, die seit dem 19. Jahrhundert in der Mathematik und Physik weit verbreitet ist.

« Aussi en jetant les yeux sur les ouvrages des grand géomètres du siècle dernier, de ceux memes auxquel l’algèbre doit les dècouvertes les plus importantes, on verra combien peu ils étoient accoutumés à manier ce meme instrument qu’ils ont tant perfectionné; et l’on ne pourra s’empêcher de regarder comme l’ouvrage de M. Euler, la révolution qui a rendu l’analyse algébrique, une méthode lumineuse, universelle, applicable à tout, et même facile. »

„Wenn man ebenso seine Augen auf die Werke der großen Geometer des letzten Jahrhunderts [d.i. des 17. Jh.] wirft, so wird man sehen, wie wenig man sich an die Verfahrensweise dieses mathematischen Instruments gewöhnen konnte, selbst unter denen, welche die Algebra zu den wichtigsten Entdeckungen zählten und welche sie zugleich derart vollkommen gemacht haben. Und so wird man sich nicht davor erwehren können, das Werk von Hrn. Euler als einen Umsturz aufzufassen, das die algebraische Analyse in eine erhellende Methode verwandelt hat, zudem eine allgemeine, auf alles anwendbar und leicht zugänglich.“

Nicolas de Condorcet[255]

Ebenso einzigartig sei Eulers Bemühen um vielseitige Beweiskonstruktionen. Für Euler galt es als Festigung und Vergewisserung einer Erkenntnis, wenn weitere Beweise dasselbe mathematische Ergebnis bestätigen. So blieb er niemals bei nur einem Beweisverfahren stehen, sondern suchte weitere Deduktionen, die zu tiefer liegendem Verständnis der zugrundeliegenden Theorie führen.[256]

« Tantôt il substituoit une méthode directe et analytique à une méthode indirecte; tantôt il étendoit sa première solution à des cas qui lui avoient d’abord échappé, ajoutant presque toujours de nouveaux exemples qu’il savoit choisir avec un art singulier parmi ceux qui offroient ou quelque application utile ou quelque remarque curieuse. La seule intention de donner à son travail une forme plus methodique, d’y rèpandre plus de clarité, d’y ajouter un nouveau degré de simplicité […]. »

„Mal ersetzte er eine direkte und analytische Methode an die Stelle einer indirekten Methode, mal erweiterte er seine erste Lösung für Fälle, die ihm zunächst entgangen waren und ergänzte nahezu immer neue Beispiele, die er in einzigartiger Weise unter denen auszuwählen wusste, welche eine nützliche Anwendung oder eine interessante Bemerkung bieten würden. Die einzige Absicht war dabei, seiner Arbeit eine noch methodischere Form zu geben, sie mit mehr Klarheit zu versehen und einen neuen Grad der Einfachheit zu ergänzen […].“

Nicolas de Condorcet[257]

Fehlkonstruktionen und unvollständige Beweise verstand Euler oft als eine Herausforderung zum Neuansatz unter anderen Voraussetzungen. In dieselbe Richtung zielt auch die Einschätzung Goethes, der die Farbenlehre dieses „außerordentlichen Menschen“, wie er ihn nennt, mindestens über die Lettres (E343/344) gut kannte und eingehend studiert haben muss:[258][259]

„Euler, einer von denjenigen Männern, die bestimmt sind, wieder von vorn anzufangen, wenn sie auch in eine noch so reiche Ernte ihrer Vorgänger geraten […].“

J. W. v. Goethe[260]

Im 19. Jahrhundert

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Eulers Bücher, die sich nach Emil Fellmann „durchweg durch höchstes Streben nach Klarheit und Einfachheit auszeichnen“ und die „ersten eigentlichen Lehrbücher im modernen Sinne darstellen“, etablierten Euler nicht nur „zum Lehrer Europas seiner Zeit“, sondern bis tief ins 19. Jahrhundert hinein: Die Werke Bernhard Riemanns trügen so beispielsweise „unverkennbare Eulersche Züge“. Henri Poincaré berichtet, dass nach Theodore Strong „Euler der Gott der Mathematik sei, dessen Tod den Niedergang der mathematischen Wissenschaften markiere“.[249]

Im Gegensatz dazu fand Eulers Spekulation über „subtile“ und „grobe“ Materie[261] im 19. Jahrhundert kaum Resonanz. Die metaphysische Begründung einer plenistischen Materieauffassung blieb, vor allem in der Nachfolge der zweiten Antinomie Kants, als wissenschaftliche Hypothese unbeantwortet und ungelöst.[262] Sie wurde im Allgemeinen nicht weiter verfolgt.[263] Stattdessen suchte man nach empirischen Modellen und experimentellen Ergebnissen auf den Gebieten der Elektrodynamik und der Elastizitätstheorie, um ein umfassendes Ätherkonzept befürworten zu können.[264]

Eulers metaphysische Überlegungen zu einer materiellen Dualität, die sich im systematischen Zusammenhang in der Schrift Anleitung zur Naturlehre finden, wurden posthum erst 1862 veröffentlicht.[265] Demnach ist die „grobe Materie“ für „diverse Stoffe“ (deren genaue Untersuchung Euler der Chemie überließ) und die «subtile Materie» (ein Äther) für Schwerkraft, Elektrizität, Magnetismus und Optik verantwortlich. Es gilt jedoch als möglich, dass Bernhard Riemann die Anleitung studierte und von ihr beeinflusst war.[266]

Die Schriften Eulers sollen einen ganz besonderen Einfluss auf Carl Gustav Jacobi gehabt haben, einen der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er sammelte Bücher Eulers, studierte diese voller Eifer, und bemerkte 1849 in einem Brief an seinen Bruder:

„Es ist wunderbar, dass man noch heute jede seiner Abhandlungen nicht bloß mit Belehrung, sondern mit Vergnügen liest.“

Vergeblich versuchte er, die 1783 und 1785 in Petersburg erschienenen beiden Bände Opuscula analytica Eulers zu erhalten. Als Eulers Urenkel Paul Heinrich von Fuss ihm die Bände aus Petersburg sandte, antwortete Jacobi ihm am 3. Mai 1841 in einem Brief:

„Ich sah sie [die beiden Bände] zuerst vor zwei Jahren bei Crelle und entdeckte gleich etwas, was Dirichlet und ich bisher für unser Eigenthum gehalten hatten; anderes, indem es alte Ideen von mir befruchtete, kann mich vielleicht zu einer interessanten Entdeckung führen.“

Die Eulerschen Schriften wurden für Jacobi eine „Fundgrube der Anregung“ und seine Resultate und Methoden führten Jacobi zu neuen „scharfsinnigen Entdeckungen“.[268] Dies bezieht sich vor allen Dingen auf das von Jacobi gefundene Tripelprodukt, welches er als das „wohl das wichtigste und fruchtbarste, was [er] in reiner Mathematik erfunden habe“ bezeichnete.[269] Dieses ist eine direkte Verallgemeinerung des Eulerschen Pentagonalsatzes und zieht wichtige Konsequenzen für die Theorie der Thetafunktionen nach sich.

Carl Friedrich Gauß lobte Eulers Arbeit und betonte ihren Wert für kommende Generationen von Mathematikern:

„Von keinem anderen Mathematiker älterer und neuerer Zeit kann man eine solche fast unbegreifliche Schnelligkeit in den schwierigsten Arbeiten bei einer solchen unerschöpflichen Fruchtbarkeit an neuen Ideen und Hilfsquellen rühmen. Alle Teile der Mathematik bearbeitete er, und die meisten erhielten unter seinen Händen eine ganz neue Gestalt.“

Carl Friedrich Gauß[270]

20. Jahrhundert bis heute

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Aus Sicht der heutigen Wissenschaftshistorie wird Leonhard Euler einschlägig eine sehr bedeutende Rolle bezüglich Fortschritt von Mathematik und Technik eingeräumt. Bezüglich seiner nicht mitunter strengen Ausführung analytischer Techniken werden jedoch vereinzelt „logische Lücken“ moniert. Insbesondere sein Umgang mit dem unendlich Großen stieß auf Kritik, obgleich ihm wegen der trotz allem vielen korrekten Endergebnisse öfters eine große „analytische Kraft“ zugesprochen wird.

Ronald Calinger ordnet das Phänomen Euler und seine Leistungen wie folgt in die Geschichte der Wissenschaft ein: In der Mathematik wurden mit Beginn der Aufklärung nur wenige große neue Errungenschaften oder grundlegende Innovationen erwartet. Das 17. Jahrhundert – als die meisten Fachleute auf diesem Gebiet aus der Aristokratie kamen oder Positionen in Medizin, Recht oder Religion innehatten – galt als ein „goldenes Zeitalter“ der Mathematik. Mitte des Jahrhunderts hatten René Descartes und Pierre de Fermat unabhängig das geschaffen, was heute als analytische Geometrie bezeichnet wird. Diese Periode gipfelte in den Anfängen der Differentialrechnung in der Method of fluxions von Newton und dem Werk von Gottfried Wilhelm Leibniz. Viele gingen nun davon aus, dass es nur noch wenig von allgemeiner Bedeutung zu verfolgen gäbe. Doch andere Gelehrte erwarteten stattdessen eine «fruchtbare Ära» nicht nur in der Analysis, einschließlich der Schaffung ihrer Kernzweige, sondern auch in der gesamten Mathematik – sowohl in Theorie als auch in Anwendung. Vor allem die umfangreichen Forschungen und Schriften Leonhard Eulers sollten sicherstellen, dass all dies geschehen würde.

Angetrieben von „enormer Energie“, einer „Leidenschaft für die Mathematik“ und die exakten Wissenschaften, einem „Engagement“ für den Aufbau einer „starken institutionellen Basis“ für diese Felder und einer „beharrlichen Verteidigung“ des reformierten Christentums, verfolgte Euler seit seiner Zeit in Basel mit Ausnahme einiger schwerer Fieberschübe „fleißig“ ein „immenses Forschungs-, Rechen- und Schreibprogramm“ in reiner und angewandter Mathematik und verwandten Feldern. Allein im Kalkül der Differentialrechnung lieferte er Hunderte von Entdeckungen und Beweisen, zusammen mit vielen „furchtlosen“ Berechnungen zur Vereinfachung und Verdeutlichung von Techniken für Differentialrechnung, unendlichen Reihen und Integralrechnung. Er war der Haupterfinder der Kernzweige von Differentialgleichungen in einer semi-geometrischen analytischen Form und (zusammen mit Lagrange) später der analytischen Variationsrechnung. In Hunderten von Artikeln und einer Analysis-Trilogie, beginnend mit der zweibändigen Introductio in analysin infinitorum (Einführung in die Analyse des Unendlichen, E101 und E102, 1748), legte Euler Grundlagen: diese wurden von ihm „methodisch arrangiert“, „ausgearbeitet“ und „als Kalkül vermittelt“. Er legte damit den Grundstein für das anfängliche Programm für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Als ein primäres Ergebnis seiner Studien verdrängte die Analysis die euklidische Geometrie von ihrer zwei Jahrtausende währenden Vorherrschaft in der Mathematik und war das Vorbild für die Vernunft im esprit géométrique der Epoche. In der reinen Mathematik tat Euler mehr: er leistete «wesentliche Fortschritte» in Zahlentheorie, Algebra, Kombinatorik, Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Topologie und Geometrie, wie auch Pionierarbeit der Differentialgeometrie von Oberflächen. Auch in den exakten Wissenschaften der Mechanik, Optik und Astronomie war Euler „tief verwurzelt“ und leistete Beiträge zur angewandten Mathematik, die in ihrer Kombination von Umfang und Tiefe „ihresgleichen suchten“.[271]

Eulers Analysis aus heutiger Sicht

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Nach Einschätzung von Alexander Gelfond war für Leonhard Euler die Mathematik „unzertrennlich mit ihren Anwendungen verbunden“. Bei der Suche nach einem Algorithmus zur Lösung von Aufgaben hätten „an erster Stelle Methoden, die mit bequemsten, praktischen und einfachsten Operationen zum Ziel führten“ gestanden. Euler habe in der Mathematik ein „mächtiges Hilfsmittel“, das zum Aufsuchen von Lösungsalgorithmen „unumgänglich“ ist, gesehen. Dies habe stets im Vordergrund gestanden und „die algebraische und konstruktive Färbung“ der Methoden bestimmt, die Euler in die Analysis einführte.

Bezüglich des Begriffs des Unendlichen führe Euler „statt irgendwelchen exakten Definitionen lange philosophische Erläuterungen“ durch, die „das Wesen der Frage nicht erhellen“. Er mache jedoch im Umgang mit unendlich wachsenden oder abnehmenden Größen „keine Fehler“, weil er stets die „Schnelligkeit des Anwachsens oder Abnehmens“ dieser Größen beachtet, wenn sie ihm z. B. in Form von Verhältnissen begegnen. An verschiedenen Stellen spreche „er auch über das Unendliche unendlich großer Ordnung im Vergleich zu einem andern Unendlich“. So sage er beispielsweise in der Arbeit De summa seriei ex numeris primis formatae, dass „das Unendliche, das durch die Reihe

entsteht, der Logarithmus desjenigen Unendlichen ist, das durch die harmonische Reihe

repräsentiert wird“. Somit sei „die zweite Unendlichkeit von unendlich höherer Ordnung als die erstere“. Aufkommende Probleme mit fehlender Konvergenz (etwa bei Werten der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen Stellen) habe er stets „umgangen“, indem er unter anderem „die sogenannte Abelsche Summationsmethode verwendet“ und somit „um ein Jahrhundert vorweggenommen“ habe.[272] Detlef Laugwitz bemerkt in diesem Kontext die Gewohnheit Eulers, Gleichheiten wie

oder auch

verwendet zu haben (wobei hier „größer als jede endliche Zahl ist“), was „zu mancher Kritik Anlass gegeben“ habe.[273] Emil Fellmann verweist wegen Eulers Schwächen bezüglich des Umgangs mit dem Unendlichen auf das Fehlen einer axiomatischen Einführung der reellen Zahlen:

„Gewiss hat man oftmals – fast immer zu Unrecht – auf vermeintlich eindeutige Schwächen im Werk Eulers hingewiesen, hauptsächlich auf das angeblich unzulässige Umspringen mit dem Begriff des Unendlichen, sei es im Großen (Reihentheorie) wie auch im Kleinen. Um Konvergenz- und Stetigkeitskriterien im modernen Sinne wie auch um die logisch exakte und geschlossene Fundierung der Analysis im Sinne der ars demonstrandi eines Cauchy, Bolzano oder Weierstrass konnte er sich gar nicht kümmern, da ein (im heutigen Sinne) strenger Beweis etwa für das Cauchysche Konvergenzkriterium erst nach einer Definition der reellen Zahlen – also frühestens 1870 – ermöglicht wurde. Euler verließ sich – nur vereinzelt erfolglos – auf seine erstaunliche Instinktsicherheit und algorithmische Kraft.“

Emil Fellmann[274]

Thomas Sonar hebt in besonderer Weise die Bedeutung der Eulerschen „Nullenrechnung“ als große Leistung hervor. Diese sei von Euler „zur höchsten Perfektion“ gebracht worden. Dabei bezieht sich Sonar unter anderem auf Leibnizsche Beiträge zur Bewegungslehre, in der von „Rudimenten und Anfängen von Linien und Figuren“ die Rede ist, welche „kleiner als jede angebbare Größe“ sind.[275] Auf „virtuose“ Weise gelänge es Euler mit diesem Werkzeug, als richtig bekannte unendliche Reihen für die Exponentialfunktion und den Logarithmus, aber auch Ableitungen wie

herzuleiten.[276]

Einschätzung der Arbeitsweise und Produktivität

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Der Wissenschaftshistoriker Emil Fellmann nennt bezüglich des Phänomens der Produktivität und Arbeitsweise Eulers drei Schlüsselkomponenten. Erstens hätte Euler «die Gabe eines wohl einmaligen Gedächtnisses» besessen. Was Euler je gehört, gesehen oder geschrieben hatte, scheint sich «ihm für immer fest eingeprägt» zu haben. Davon gebe es «unzählige zeitgenössische Zeugnisse». Noch in hohem Alter solI er beispielsweise «seine Familienangehörigen, Freunde und Gesellschaften mit der wortgetreuen Rezitation jedes beliebigen Gesanges aus Vergils Aeneis entzückt haben, und Protokolle der Akademiesitzungen kannte er nach Jahrzehnten noch auswendig – von seinem Gedächtnis für mathematische Belange ganz zu schweigen». Als zweiten Punkt hebt Fellmann Eulers «seltene Konzentrationsfähigkeit» hervor. Lärm und Betrieb in seiner unmittelbaren Umgebung hätten ihn «kaum in seiner Gedankenarbeit gestört». Das Zitat: «Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken, so schrieb er seine unsterblichen Werke» soll von Dieudonné Thiébault überliefert sein. Der dritte Schlüssel bestehe «ganz einfach in steter, ruhiger Arbeit».[277]

Nach François Arago äußerte sich Eulers Genie in der Leichtigkeit, mit der er jede mathematische Frage zu behandeln wusste:

« Euler calculait sans aucun effort apparent, comme les hommes respirent, comme les aigles se soutiennent dans les airs. »

„Euler rechnete ohne irgendeine ersichtliche Anstrengung, wie andere Menschen atmen, wie die Adler in der Luft schweben.“

Eulers Schriften weisen auch für heutige Leser einen besonderen Reiz auf. Sie sind didaktisch konzipiert, in vielen Detailfragen ausführlich, ursprünglich und selbstkritisch, um einen breiteren Zugang zu ermöglichen.

„Besonders wertvoll ist, dass Euler in seinen Abhandlungen den Leser Anteil nehmen lässt an seiner Arbeitsweise. Er scheut nicht davor zurück, auch verfehlte Versuche anzugeben, die zu keinem Ziel geführt haben. So erlebt der Leser auch heute noch die Art und Weise mit, in der Euler seine Entdeckungen machte. Die Arbeiten […] beginnen gewöhnlich mit einer Analyse des Problems, das zuerst auf seine einfachste und zugleich tiefste Form gebracht wird. Darauf setzt die Begriffsbildung ein, die nach wenigen Überlegungen zu überraschenden Resultaten führt.“

Mehrere Wissenschaftshistoriker bemerken, dass Eulers Monographien zur Mechanik, die Mechanica (1736) und die Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum (1765), als erste Schriften ihrer Art genannt werden können, die den Charakter eines theoretischen Lehrbuches haben. Sie stellen den Gegenstand im sachlichen und didaktischen Aufbau bereits so dar, wie er z. T. auch in heutigen Lehrbüchern noch zu finden ist.[280][281][282] In der letztgenannten Mechanikschrift Euler (1765) findet man beispielsweise eine umfassende Rekonstruktion der Punktmechanik in kartesischen Koordinaten, wie sie Euler selbst in vielen Einzelartikeln vorbereitet hat. Dazu bemerkt der Herausgeber:

« [L’]idée d’utiliser les methodes de la géometrie analytique pour étudier le mouvement d’un point, nous est si familière qu’on fera bien de se souvenir qu’elle était alors toute nouvelle[.] »

„Die Vorstellung, Methoden der analytischen Geometrie zu verwenden, um die Bewegung eines Punktes zu studieren, ist uns so vertraut, dass man sich bewusst in Erinnerung rufen muss, dass sie einmal völlig neu waren.“

Charles Blanc.[283]

Autobiographische Notizen

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Von Euler gibt es einige wenige autobiographische Notizen, die er 1767 seinem Sohn Johann Albrecht auf Deutsch diktiert hat.[284] Als einziges Werk nennt Euler darin seine «Disputationem de Sono»[285] und verliert sich sonst in einigen Reise- und Gehälterdetails.

Zum Beispiel erfährt man, dass er zu seiner ersten Überfahrt im Frühjahr 1727 nach St. Petersburg ein Schiff über Lubec genommen hat. Ausführlicher gedenkt er dort auch seinem früheren Mentor und Lehrer aus Studienzeiten Johann I Bernoulli, der ihm anstelle von mehreren wöchentlichen Privatlektionen den «weit heilsameren Rath» zum autodidaktischen Erlernen der Mathematik mitgab:

„[…] welcher darin bestund, dass ich selbsten einige schwerere mathematische Bücher vor mich nehmen und mit allem Fleiß durchgehen sollte.“

Leonhard Euler[286]
Gedenktafel für Leonhard Euler (1707–1783), Dorfkirche Sankt Martin. Riehen, Schweiz
Gedenktafel, Dorfkirche St. Martin, Riehen, mit Aufschrift: Leonhard Euler (1707–1783): Mathematiker, Physiker, Ingenieur, Astronom und Philosoph, verbrachte in Riehen seine Jugendjahre. Er war ein großer Gelehrter und ein gütiger Mensch.

Namensgeber für Preise und Auszeichnungen

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Nach Leonhard Euler sind mehrere Mathematikpreise benannt. So wird seit 1991 von der Russischen Akademie der Wissenschaften die Leonhard-Euler-Goldmedaille für besonders herausragende Leistungen in den Bereichen Mathematik und Physik verliehen. Für besondere Leistungen im Bereich Kombinatorik verleiht das Institute of Combinatorics and its Applications seit 1993 jährlich die sog. Euler-Medaille.

Ebenfalls nach Leonhard Euler benannt ist der Euler Book Prize, der jährlich von der Mathematical Association of America für «ein hervorragendes Buch über Mathematik» vergeben wird.[287]

Ausstellungen, Kolloquien und Vorträge

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Zu seinem 200. Todesjahr 1983 veranstaltete die Technische Universität Berlin ein Euler-Kolloquium, in welchem unter anderem Emil Fellmann, Erhard Heinz, Olli Lehto und Kurt Strebel Vorträge hielten.[288]

Anlässlich seines 300. Geburtstages widmete das Landesmuseum Braunschweig Leonhard Euler eine Ausstellung und Vortragsreihe. Dabei ging es «in der Erforschung, Darstellung und Vermittlung von wissenschaftsgeschichtlichen Fragestellungen um Kooperation unterschiedlicher Fachrichtungen, für die sich das «Projekt Euler» in hervorragender Weise angeboten habe.»[289] Ferner heißt es im Ausstellungsbericht:

„Euler war nicht nur herausragender Wissenschaftler mit internationaler Bedeutung, sondern darüber hinaus auch eine Persönlichkeit, die bereits im 18. Jahrhundert ein mit den Wissenschaftszentren Europas eng verbundenes Leben führte.“

Gerd Biegel et al.[290]

Andere Ausstellungen veranstalteten u. a. die Universität Basel[291] und die Universität Würzburg.[292]

Populärwissenschaftlich

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Die Eulersche Identität in der Form wurde vom Nobelpreisträger Richard P. Feynman als «die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik» bezeichnet wegen ihrer genau einmaligen Verwendung von Addition, Multiplikation, Potenz und Gleichheit sowie der einmaligen Verwendung der wichtigen Konstanten 0, 1, e, i und π.[293] 1988 wählten die Leser des Mathematical Intelligencer sie (in der Form ) zur «schönsten mathematischen Formel aller Zeiten». Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln dieser Umfrage verantwortlich: Gleich auf Platz zwei rangierte der Polyedersatz und auf Platz fünf das Basler Problem[294]

Euler ist Namensgeber des sog. Project Euler, einer Website, auf der eine Reihe von Problemen gestellt sind, welche zumeist mittels mathematischer Programmierung gelöst werden müssen. Ziel des Projektes ist es, interessierte Menschen dabei zu unterstützen, spielerisch Programmierkenntnisse zu vertiefen oder bereits Gelerntes aufzufrischen.

Die Eulersche Scheibe (englisch Euler’s Disc) ist ein physikalisches Spielzeug für die Demonstration der Energiedissipation einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe wurde etwa 1987 von Joe Bendik erfunden, die dieser nach Leonhard Euler benannte, weil Euler sich bereits mit mathematischen Aspekten dieses physikalischen Problems beschäftigt hatte.[295]

Leonhard-Euler-Teleskop

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Ebenfalls nach Euler benannt ist das Leonhard-Euler-Teleskop, ein Spiegelteleskop mit 1,2-m-Apertur der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte.

Leonhard Euler als Namensgeber

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Von Leonhard Euler entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:

Gleichungen:

Formeln:

Sätze und Theoreme:

Konstanten und Zahlenfolgen:

Vermutungen:

Funktionen und (mathematische) Verfahren:

Geometrie und Topologie:

Graphentheorie:

Musiktheorie:

  • Eulersches Tonnetz, Darstellung des Tonumfanges der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen

Physik und Mechanik:

Sonstige Ehrungen und Widmungen

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Gedenktafel am Haus Behrenstraße 21/22 in Berlin-Mitte mit Aufschrift: Hier wohnte von 1743 bis 1766 der Mathematiker Leonhard Euler (* 15.IV.1707; † 18.IX.1783) Seinem Andenken die Stadt Berlin 1907
Der Mondkrater Euler

Die Evangelisch-Lutherische Kirche in Amerika erinnert mit einem Gedenktag am 24. Mai an Leonhard Euler, gemeinsam mit Nikolaus Kopernikus.[296]

In Basel wurde 1875 zu Ehren von Leonhard Euler beim Eingang des Bernoullianums eine Büste aufgestellt.[297] Auf einer Texttafel wird darauf hingewiesen, dass das Bernoullianum in den Jahren 1872–1874 von Johann Jakob Stehlin der Jüngere (1826–1894) zur 400-Jahrfeier der Universität für die Naturwissenschaftlichen Disziplinen auf dem Areal des 1530 errichteten Wasenbollwerks erbaut wurde.[298]

An seine Tätigkeit und sein damaliges Wohnhaus in Berlin erinnert eine Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22, dem heutigen Haus der Bayerischen Vertretung in Berlin, die 1907 angebracht wurde.

Seit 1976 zeigte die Vorderseite der 10-Schweizer-Franken-Banknote das Porträt Eulers. Das Motiv den Scheins auf der Rückseite zeigte eine Wasserturbine (eine solche mit hohem Wirkungsgrad wurde von Euler erstmals konstruiert), unser Sonnensystem und der Strahlengang in einem Linsensystem. In der in den 1980er-Jahren entworfene Reserveserie (sog. Geheimreserve, die im Falle massenhafter Fälschungen im Umlauf gekommen wäre), war Leonhard Euler ebenfalls auf dem 10 Franken Schein abgebildet. Allerdings änderte sich sowohl Porträt als auch Motiv. Auf dem Reserveschein sind die Gammafunktion, das Sonnensystem und im Hintergrund eine Zahlentabelle abgebildet.

Weiterhin sind zu seinen Ehren der Mondkrater Euler und der Asteroid (2002) Euler benannt. Letzteres geschah im Jahr 2002 in Anerkennung «seiner Beiträge zur Mathematik und den Wissenschaften».[299]

Das Leonhard-Euler-Teleskop ist ein Spiegelteleskop der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte in Chile.[300][301]

Auch eine Software für numerische und symbolische Berechnungen (Euler Math Toolbox) trägt seinen Namen. Die Pflanzengattung Euleria Urb. aus der Familie der Sumachgewächse (Anacardiaceae) wurde 1925 nach ihm benannt.[302]

Leonhard Euler wurde mehrfach auf Briefmarken geehrt: in der Schweiz 1957 und 2007,[303] in der DDR 1950, 1957 und 1983 und in der Sowjetunion 1983. 2007 wurde in Russland eine Gedenkmünze zu Ehren Eulers herausgegeben.

Unter anderem in Basel, Berlin, Dortmund und Hannover wurden Straßen nach Leonhard Euler benannt. In Berlin sind ihm zu Ehren mehrere Gedenktafeln errichtet worden: sowohl an seinem ehemaligen Wohnsitz in der heutigen Behrenstraße als auch am Bundesamt für Statistik.[304]

Publikationen (Auswahl)

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  • Mechanica sive motus scientia analytice exposita. 2 Bände, 1736 (E015, E016).
  • Tentamen novae theoriae musicae. 1739 (E033).
  • Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg. 2 Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band 1 1738, Band 2 1740. (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 1, Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 2).
  • Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. 1741 (E053).
  • Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1744. (E065). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bd. 24, S. 1–322, hrsg. v. C. Carathéodory. (Orell) Turici 1952.
  • Introductio in analysin infinitorum. 2 Bände. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1748 (E101, E102). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bde. 8 u. 9, hrsg. v. A. Krazer u. A. Speiser. (Teubner), Leipzig 1922 u. 1945.
  • Découverte d’un nouveau principe de Mécanique. In: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin. Band 6, 1752, S. 185–217 (E177).
  • Institutiones calculi differentialis. 2 Bände. Erstveröffentlichung Bd. 1 (Akademie) St. Petersburg 1955. (E212). Neu erschienen im Opera Omnia Ser. I, Bd. 10, S. 1–676, hrsg. v. G. Kowalewski. (Teubner) Leipzig 1913.
    • In englischer Übersetzung erschienen als Euler – Foundations auf Differential Calculus. Hrsg. v. J. D. Blanton, (Springer) New York, Berlin, Heidelberg, 2000.
  • Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. 1765 (E289).
  • Lettres à une princesse d’Allemagne. 3 Bände, 1768 (E343, E344, E417).
  • Institutiones calculi integralis. 3 Bände, 1768–1770 (E342, E366, E385).
  • Vollständige Anleitung zur Algebra. 2 Bände, 1770 (E387, E388, Band 2 Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv).

Deutsche Übersetzungen und Ausgaben seiner Werke

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  • Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung, Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830 (Band 1 e-rara.ch, Band 1 archive.org, Band 2 archive.org, Band 3 archive.org).
  • Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft, 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853 (Band 1 archive.org, Band 2 archive.org, Band 3 archive.org).
  • Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: Abhandlungen über Variationsrechnung, Hrsg. v. P. Stäckel, 1. Teil, Ostwalds Klassiker 46. (W. Engelmann) 1894, zweite Auflage Leipzig, Berlin 1910.
    • Darin enthalten E065, die Methodus inveniendi lineas curvas (1744), ohne Anhänge (Additamenta). Erschienen als Kapitel III mit dem Titel: Methode Curven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt oder Lösung des isoperimetrischen Problems, wenn es im weitesten Sinne des Wortes aufgefasst wird. Seite  21–132.
  • Euler: Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie, Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896 (archive.org).
  • Euler: Drei Abhandlungen über Kartenprojektion, Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898 (archive.org).
  • Euler: Von den elastischen Kurven Deutsche Übersetzung von Additamentun I: De Curvis Elasticis zu Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften. In: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven: S. 18 – 99. Hrsg. v. H. Linsenbarth, Ostwalds Klassiker Band 175. (W. Engelmann) Leipzig 1910.
  • Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910
  • Euler: Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754), Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911
  • Euler: Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790). Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928
  • Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen, Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer 1983
  • Euler: Zur Theorie komplexer Funktionen, Einleitung A. P. Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft 1983
  • Euler: Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems. Vollständige deutsche Übersetzung der Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften, von A. Aycock und A. Diener; herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.
  • Euler: Grundlagen des Differentialkalküls, der vollständige Erklärung dieses Kalküls enthält, Teil 1. Übersetzung der Institutiones calculi differentialis, Partis Prioris (E212), siehe hier unter SchriftenPublikationen (Auswahl), übersetzt von A. Aycock und A. Diener, herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.

Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500 wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker Ferdinand Rudio (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30 Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70 Einzelbände erschienen, außerdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.

Die gesammelten Werke werden seit 1911 als Opera Omnia im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben durch die Euler-Kommission, die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch Adolf Krazer, Rudolf Fueter, Heinrich Weber, Paul Stäckel und Karl von der Mühll an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten Ludwig Schlesinger, Friedrich Engel, Andreas Speiser, Clifford Truesdell (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18. Jahrhundert, verfasst von Truesdell),[305] Alexander Michailowitsch Ljapunow, Georg Faber, August Gutzmer, Carl Boehm, Constantin Carathéodory, Henri Dulac, Max Herzberger, Emile Cherbuliez, Charles Blanc und Eric Aiton (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), Walter Habicht (ab 1965) und seit 1985 Hans-Christoph Im Hof. Weitere Herausgeber waren unter anderem Emil Fellmann, Adolf Juschkewitsch, Henri Dulac, Pierre Costabel, René Taton, Wladimir Iwanowitsch Smirnow, Alot T. Grigorjan, Joachim Otto Fleckenstein, Johann Jakob Burckhardt, Gleb K. Mikhailov, Franz Lemmermeyer, Andreas Kleinert und Martin Mattmüller.

Die Edition besteht aus

  • Reihe 1: Mathematik, 30 Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die Anleitung zur Algebra. Band 16 besteht aus zwei Teilbänden.
  • Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27 Bände in 30 Teilbänden (vollständig).
  • Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12 Bände (vollständig).
  • Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 10 Bände für die rund 3100 Briefe mit rund 300 Korrespondenten. Bisher erschienen: 4 Bände.
  • Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant).[306][307]

Beim Briefwechsel sind im Rahmen der Opera Omnia erschienen:

  • Band 1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
  • Band 2 (mit Johann I. und Nikolaus I. Bernoulli),
  • Band 5 (mit Clairaut, d’Alembert und Lagrange) und
  • Band 6 (mit Maupertuis und Friedrich II.).

Außerdem sind außerhalb der Opera Omnia folgende Briefwechsel erschienen:

  • mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
  • mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3 Bände: 1959, 1961, 1976),
  • mit Tobias Mayer (American Elsevier, 1971).

Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, Nikolaus Fuss, Johann I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler.[308]

Monografien und Sammelbände

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  • Gerd Biegel, Angela Klein, Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker (= Disquisitiones historiae scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Bd. 3). Braunschweigisches Landesmuseum, Braunschweig 2008, ISBN 978-3-927939-79-0.
  • Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Gleb K. Michailow, Adolf Juschkewitsch: Euler and modern science. Englische Ausgabe. (Erstveröffentlichung auf Russisch, Isdatelstvo Nauka 1988.) Mathematical Association of America. Washington DC. 2007.
  • Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier 2007.
  • Horst Bredekamp, Wladimir Velminski (Hrsg.): Mathesis & Graphe. Leonhard Euler und die Entfaltung der Wissensysteme. Akademie-Verlag, Berlin 2010, ISBN 978-3-05-004566-5.
  • Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightment. Princeton University Press. New Jersey, Oxfordshire 2016.
  • Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A tricentennial tribute. Imperial College Press, London 2010.
  • William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0.
  • William Dunham (Hrsg.): The Genius of Euler. Reflections on his life and work. Mathematical Association of America, Washington DC. 2007
  • Emil Fellmann (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt. Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1343-9.
  • Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt, Reinbek 1995, ISBN 3-499-50387-5.
  • Emil Fellmann: Leonhard Euler. Birkhäuser 2007
  • Rudolf Fueter, Leonhard Euler. Beiheft Nr. 3 zur Zeitschrift Elemente der Mathematik. (Birkhäuser) Basel 1948, S. 1–22.
  • Xavier Hascher, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. CNRS Editions, Paris 2015, ISBN 978-2-271-08331-9.
  • Helmut Pulte, Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung. Kap. B.II (S. 104 – 192) in: H. Pulte, Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.
  • C. Edward Sandifer: How Euler did it. Mathematical Association of America 2007 (monatliche Kolumne von Sandifer in MAA Online 2003 bis 2007).
  • C. Edward Sandifer: How Euler did even more. Mathematical Association of America 2015
  • C. Edward Sandifer: The early math of Leonhard Euler. Mathematical Association of America 2007
  • Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, 2011.
  • Otto Spiess: Leonhard Euler. Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des 18. Jahrhunderts. Frauenfeld 1929.
  • Wilhelm Stieda: Die Übersiedlung Leonhard Eulers von Berlin nach St. Petersburg. Hirzel, Leipzig 1931 urn:nbn:de:hbz:061:1-13189.
  • Dieter Suisky: Euler as physicist. Springer, Berlin 2009.
  • Margaret B. W. Tent: Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel. 2009, ISBN 978-1-56881-464-3.
  • Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner. Band 56) B. G. Teubner, Leipzig 1982, ISBN 3-322-00576-3.
  • Clifford Truesdell, The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies (1638 – 1788). Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960
  • V. S. Varadarajan: Euler through time: A new look at old themes. American Mathematical Society, 2006.
  • Andreas Verdun: Leonard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer-Spektrum 2015
  • Wladimir Velminski (Hrsg.): Leonhard Euler. Die Geburt der Graphentheorie. Kulturverlag Kadmos, Berlin 2009, ISBN 978-3-86599-056-3.
  • Rudolf Wolf: Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, S. 87–134 (books.google.de).
  • Wolfgang Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. In: R. Bradley, C. E. Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. (Elsevier) Amsterdam, Boston, Heidelberg 2007.
  • Constantin Carathéodory, Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. S.  VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol. 24: Methodus inveniendi lineas curvas. (Orell Füssli) Turici 1952.
  • Nicolas Marquis de Condorcet: Éloge de M. Euler (Erste Fassung). In: Histoire de l’Académie royale des sciences année 1783 avec les Mémoires, Paris 1786, S. 37 – 68. Onlinezugriff: gallica.bnf.fr. .
  • N. de Condorcet: Éloge de M. Euler. Neue redigierte Fassung von Condorcet (1786). In Lettres de M. Euler à une princesse d‘Allemange. Neue Ausgabe von E343, Paris 1787, S. ix – xliv. Online: Textarchiv – Internet Archive.
  • Gustaf Eneström: Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. Ergänzungsband 4 zum Jahresbericht der DMV. B. G. Teubner, Leipzig 1910 (erste Lieferung), 1913 (zweite Lieferung) – (archive.org).
  • Lutz Felbick: Lorenz Christoph Mizler de Kolof. Schüler Bachs und pythagoreischer «Apostel der Wolffischen Philosophie» (= Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Leipzig. Schriften. Bd. 5). Georg-Olms-Verlag, Hildesheim u. a. 2012, ISBN 978-3-487-14675-1 (Zugleich: Leipzig, Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Dissertation, 2011), S. 126–172 (Eulers Musiktheorie) Online-Version.
  • Günther Frei: Zahlentheorie, Analysis und vieles mehr – Die Bedeutung von Leonhard Euler für die heutige Zeit. In: Naturwissenschaftliche Rundschau. Band 60 (12). 2007, ISSN 0028-1050, S. 629–635.
  • Nikolaus Fuß: Lobrede auf Herrn Leonhard Euler. Basel 1786. Online: digitale sammlungen.de
  • Harro Heuser: Eulers Analysis. S. 147–163 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der LiteraturMonografien und Sammelbände.
  • Eberhard Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. S. 79–89 des Kapitels Zum Leben von Leonhard Euler von Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur Monografien und Sammelbände.
  • Günter Kröber, Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, (Reclam/deb) Leipzig (DDR), Westberlin (BRD) 1983, Seite 5–27.
  • Harald Iro: Eulers analytische Mechanik. S. 237–268 des Kapitels Eulers Werk: Naturwissenschaften in Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur Monografien und Sammelbände.
  • Olaf Neumann: Leonhard Euler und die Zahlen. S. 115–145 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur Monografien und Sammelbände.
  • Rüdiger Thiele: The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783). Kapitel 5 in Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Hrsg.): Mathematics and the Historian’s Craft. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-25284-3, S. 81–140.
  • R. Thiele: Euler und Basel. S. 10–21 des biographischen Teils (Zum Leben von Leonhard Euler) in Biegel, Klein, Sonar (2008), in der LiteraturMonografien und Sammelbände.
  • R. Thiele: Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte. S. 165–176 des Kapitels Eulers Werk: Mathematik in Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur Monografien und Sammelbände.
  • R. Thiele: Leonhard Euler und die Philosophie. S. 497–513 des Kapitels Eulers Werk: Die Vielseitigkeit Eulers. In Biegel, Klein, Sonar (2008), in der LiteraturMonografien und Sammelbände.
  • André Weil: Zahlentheorie – ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre. Birkhäuser 1992.

Nachschlagewerke

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Commons: Leonhard Euler – Sammlung von Bildern und Audiodateien
Wikisource: Leonhard Euler – Quellen und Volltexte
Wikisource: Leonhardus Eulerus – Quellen und Volltexte (Latein)

Über Euler

Von Euler

  1. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 11.
  2. Leonhard Euler | Gemeinde Lexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
  3. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
  4. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982, S. 16.
  5. Siehe dazu S. 14 in R. Thiele (2008), Euler und Basel, hier in der LiteraturSonstiges.
  6. Siehe etwa dazu S. 16 in R. Thiele (2008), Euler und Basel, hier in der LiteraturSonstiges.
  7. H. Heuser (2008), S. 147, hier in der LiteraturSonstiges.
  8. Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, S. 2.
  9. Siehe hier unter ‚Autobiographische Notizen‘.
  10. Siehe Fellmann(1995), in der hier angeg. Literatur, S. 12 und 31.
  11. Concerning the Nature and Propagation of Sound. (PDF) Abgerufen am 19. Februar 2023.
  12. a b c Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 31.
  13. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). In: Historia Mathematica. Band 23, Nr. 2, Mai 1996, S. 121–166, doi:10.1006/hmat.1996.0015 (elsevier.com [abgerufen am 19. Februar 2023]).
  14. Rudolf Wolf: Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, Seite 91. Online: (books.google.de).
  15. a b Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). In: Historia Mathematica. Band 23, Nr. 2, Mai 1996, S. 121–166, doi:10.1006/hmat.1996.0015 (elsevier.com [abgerufen am 19. Februar 2023]).
  16. Siehe Seite 92 in Wolf (1862), im u. a. Literaturverzeichnis. In seiner autobiographischen Notiz, die in E. Fellmann (1995) abgedruckt ist (S. 13 im u. a. Literaturverzeichnis), benennt Euler hingegen die Stelle des ebenfalls mit Hermann in die Heimat zurückkehrenden Herrn Büflinger.
  17. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 63.
  18. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 68.
  19. a b Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 126.
  20. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 128–129.
  21. I. R. Gekker, A. A. Euler: Leonhard Euler’s family and descendants. In Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, G. K. Michaĭlow, Adolf Pawlowitsch Juschkewitsch (Hrsg.): Euler and Modern Science. Übersetzt von Robert Burns. Mathematical Association of America, 2007, S. 402.
  22. Eulogy of Leonhard Euler by Nicolas Fuss. Abgerufen am 19. Februar 2023 (englisch).
  23. Historisches Familienlexikon der Schweiz. Abgerufen am 14. Januar 2024.
  24. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 63.
  25. Euler, Leonhard – Briefe an eine deutsche Prinzessin über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie; Bd. 1. Abgerufen am 19. Februar 2023.
  26. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. 1999, S. XXIV–XXV
  27. Emil. René Bernoulli: Leonhard Eulers Augenkrankheiten. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 473.
  28. Thomas Sonar: 3000 Jahr Analysis. Springer, 2011, S. 458.
  29. David S. Richeson: Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press, 2012, S. 17. (Zitiert von Howard W. Eves: In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes. Prindle, Weber, & Schmidt, 1969, S. 48)
  30. E. A. Fellmann: Leonhard Euler. Reinbek, 1995, S. 85 f.
  31. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, S. XXIV–XXV
  32. Emil. A. Fellmann: Leonhard Eulers Stellung in der Geschichte der Optik. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 310.
  33. So G. Kröber (1983), in der u. a. Literatur: Sonstiges, S. 8. Friedrich hat eine Abhandlung mit dem Titel Betrachtungen über die Betrachtungen der Mathematiker über die Dichtkunst verfasst (1762), in der er seiner Abneigung gegenüber mathematischem Denken und Vorgehen Ausdruck verleiht. Zu finden in G. Volz, F. Oppeln-Bronikowski (Hrsg.): Die Werke Friedrichs des Großen, Bd. 8: Philosophische Schriften. Berlin 1913, S. 62–73. Online: Textarchiv – Internet Archive
  34. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 457.
  35. Wortlaut aus O. Spiess (1929), S. 174; wiedergegeben in G. Kröber (1983), beide Schriften in der unten angegebenen Literatur, S. 8.
  36. G. Kröber (1983), in der u. a. Literatur: Sonstiges, S. 8.
  37. Deutsch in Karl Heinrich Siegfried Rödenbeck: Tagebuch oder Geschichtskalender aus Friedrich’s des Großen Regentenleben (1740–1786). Bd. 3, S. 182–183.
  38. Theodore Besterman (Hrsg.): The Complete Works of Voltaire. Band 129: Correspondence and related documents, XLV September 1777-May 1778, letters D20780-D21221. The Voltaire Foundation, Banbury 1976, D21010, Frederick II to Voltaire, 25 January 1778, S. 184–186, hier S. 185 (englisch).I wanted to make a jet of water in my Garden; the Cyclop Euler calculated the effort of the wheels for raising the water to a basin, from where it should fall down through canals, in order to form a fountain jet at Sans-Souci. My mill was constructed mathematically, and it could not raise one drop of water to a distance of fifty feet from the basin. Vanity of Vanities! Vanity of mathematics.
  39. M. Eckert: Euler and the Fountains of Sanssouci. Arch. Hist. Exact Sci. 56 (2002) 451–468, S. 451 ff.
  40. Fellmann (1995), im hier angegebenen Literatur-Verzeichnis, Seite 96.
  41. Fellmann (1995), im hier angeg. Literaturverzeichnis (→ Monografien und Sammelbände), Seite 99; sowie Wolf (1862), im hier angeg. Literaturverzeichnis (→ Monografien und Sammelbände), S. 100.
  42. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982, S. 137.
  43. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 459.
  44. Euler Archive – Works by Euler | Euler Archive | University of the Pacific. Abgerufen am 19. Februar 2023.
  45. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 43–44.
  46. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 47.
  47. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 51.
  48. Edna Ernestine Kramer: The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press, S. 217.
  49. Fritz Nagel: Leonhard Euler und die Wonnen der Wissenschaft. Begleittext zur Ausstellung in der Universitätsbibliothek Basel vom 17.03. bis 9. Juni 2007, S. 15.
  50. Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 8.
  51. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 53.
  52. Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 69.
  53. Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 487.
  54. a b Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 52.
  55. GENEALOGISCHE LISTE DER NACHKOMMENSCHAFT VON LEONHARD EULER. (PDF) Abgerufen am 19. Februar 2023.
  56. Euler, Leonhard (1707–1783). (PDF) Abgerufen am 19. Februar 2023.
  57. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 56.
  58. Marquis de Condorcet: Leonhard Eulers Briefe über verschiedene Gegenstände aus der Naturlehre. Band 1, S. XIX (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  59. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 57.
  60. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
  61. N. Fuss: Lobrede auf Herrn Leonhard Euler, Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S. 106–107.
  62. Artikelansicht : Forschungsstelle für Personalschriften. 16. Februar 2020, abgerufen am 19. Februar 2023.
  63. Ruedi Brassel-Moser: Alexander Euler. In: Historisches Lexikon der Schweiz. 24. Oktober 2012, abgerufen am 8. Februar 2020.
  64. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
  65. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. vii
  66. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. XI
  67. Walter Guatschi: Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works, SIAM Review, Bd. 50, Nr. 1, S. 3–33, doi:10.1137/070702710, S. 3.
  68. James J. Tattersall: Elementary Number Theory in Nine Chapters. S. 18.
  69. W. Dunham: The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work. S. 15.
  70. Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi. Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.
  71. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. xix
  72. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America 1999, S. 17.
  73. Introductio in analysin infinitorum, volume 1, auf scholarlycommons.pacific.edu
  74. Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, volume 1, auf scholarlycommons.pacific.edu
  75. Beide Schriften sind hier auch in den Publikationen (Auswahl) zu finden.
  76. H. Heuser (2008), S. 152 , hier in der LiteraturSonstiges, daraus der Wortlaut.
  77. R. Thiele (2008), Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachteS. 172; hier in der LiteraturSonstiges.
  78. Man vergleiche den lateinischen Wortlaut in der Online-Ausgabe: Introductio in Analysin infinitorum, Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S. 4. Von H. Heuser (2008), hier in der LiteraturSonstiges, S. 153, so übersetzt: «Eine Funktion einer veränderlichen Zahlgröße ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus der veränderlichen Größe und aus eigentlichen Zahlen oder aus konstanten Zahlgrößen zusammengesetzt ist». Johann Bernoullis Funktionsbegriff von 1718 ist in R. Thiele (2008), Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte, S.  172, im französischen Original wiedergegeben; hier in der LiteraturSonstiges. Übersetzt: «Ich nenne hier Funktion einer veränderliche Größe, eine Quantität, die in beliebiger Weise aus variablen und konstanten Größen zusammengesetzt ist.»
  79. C. Carathéodory (1952), S. XII, (siehe hier in der LiteraturSonstiges) bemerkt, dass Euler in seiner Kurventheorie auch Funktionen zulässt, die Differentiale der ursprünglichen Funktion enthalten, also Fragestellungen, ‹welche heute gar nicht mehr betrachtet werden›.
  80. Institutiones calculi differentialis, hier in den Publikationen (Auswahl), S. vi, im lateinischen Original folgendermaßen: «Si igitur denotet quantitatem variablem, omnes quantitates, quae utcumque ab pendent, seu per eam determinantur, eius functiones vocantur;».
  81. a b Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991, S. 439–45.
  82. Mathematical Notation: Past and Future. Abgerufen am 19. Februar 2023 (englisch).
  83. William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, Kapitel 3 und 4.
  84. The Largest Known prime by Year: A Brief History. Abgerufen am 19. Februar 2023.
  85. Siehe C. Carathéodory (1952), hier in der LiteraturSonstiges: S. VIII f.
  86. Siehe insbes. S. 172 u. 202 in: C. Truesdell (1960), hier im Literatur-Verzeichnis (→Monografien und Sammelbände).
  87. Der ausführliche und deutlich längere Titel findet sich hier in den Schriften, und in Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), siehe hier: SchriftenDeutsche Übersetzungen.
  88. Siehe C. Carathéodory (1952), hier in der LiteraturSonstiges: S. VIII f.
  89. H. Heuser (2008), S. 151, hier in der LiteraturSonstiges, daraus der Wortlaut.
  90. Entsprechend auch P. Stäckel (1894), hier in SchriftenDeutsche Übersetzungen, S. 134, wenn es dort heißt: «Leonhard Euler hat das Verdienst, die Einzeluntersuchungen der Brüder Bernoulli zusammengefasst und die Variations-Rechnung als besonderen Zweig der Analysis begründet zu haben.»
  91. Siehe etwa O. Neumann (2008), S. 151, hier in der LiteraturSonstiges.
  92. E. Friedell, Kulturgeschichte der Neuzeit - Band 1. (Erstveröffentlichung des 3. Teils: 1928). (dtv) 16. Auflage, München 2005: S. 672.
  93. A. O. Gelfond, Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der Analysis und seiner «Einführung in die Analysis des Unendlichen». In: E. Fellmann (1983), hier in der LiteraturMonografien und Sammelbände: S. 102; daraus der Wortlaut.
  94. E. Knobloch (2008), S. 80, hier in der LiteraturSonstiges, betont, dass die Bernoulli-Brüder zusammen mit Leibniz die Problemstellung und die analytische Herangehensweise zur Variationsrechnung entwickelt haben, Euler die systematische ‹Zusammenfassung aller Einzelergebnisse› gebührt. So P. Stäckel (1894), S. 134 in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier in den angegebenen SchriftenDeutsche Übersetzungen.
  95. In A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928. S. 22, werden Anfänge der Variationsrechnung in das punktmechanische Werk der Mechanica Tomus 1 (E015: siehe auch hier unter Schriften →Publikationen (Auswahl)) von 1736 gefunden.
  96. Wortlaut aus: H. Heuser (2008), S. 151, hier in der LiteraturSonstiges.
  97. Siehe dazu Euler (1744/1894), E065, in der Übersetzung von P. Stäckel, hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 31.
  98. P. Stäckel (1894), S. 133 in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier in den angegebenen SchriftenDeutsche Übersetzungen.
  99. R. Thiele (2008), Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte, Seite 166; hier in der LiteraturSonstiges.
  100. Siehe dazu Euler (1744/1894), E065, in Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 22.
  101. Die Bezeichnung der ‹Calculum Variationum› geht ebenso auf Euler zurück, was C. Carathéodory (1952), S. IX, bemerkt (siehe hier in der LiteraturSonstiges).
  102. So C. Carathéodory (1952), S. X, hier in der LiteraturSonstiges.
  103. Euler (1744/1894), E065, hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 61 f.
  104. Weiteres zu Eulers Methode und ihren Anwendungen befindet sich im Eintrag Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers unter Begründung der Variationsrechnung.
  105. Siehe dazu P. Stäckels Anmerkung in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 134.
  106. Siehe C. Carathéodory (1952), hier in der LiteraturSonstiges: S. XI.
  107. Euler (1744/1894), E065, in der deutschen Übers. von P. Stäckel, hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 31.
  108. Der Gegensatz ‚synthetisch-analytisch‘ in diesem Zusammenhang von innermathematischen Methoden folgt der Charakterisierung nach Kap. IV.4: Analytische Mechanik und analytische Prinzipien (S. 187 f.) in H. Pulte, Axiomatik und Empirie. (Wissenschaftliche Buchgesellschaft) Darmstadt 1995, in Orientientierung an Eulers eigene Bezeichnung im Vorwort seiner Mechanica (1736, E015).
  109. Nach einer Bemerkung von F. G. Frobenius, abgedruckt auf S. 143 in: E. Fellmann, Leonhard Euler. (Rowohlt) Hamburg 1995.
  110. Seite 152 in: Harro Heuser, Eulers Analysis. S. 147–163 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur Monografien und Sammelbände.
  111. Die Wortlaute sind S. 134 entnommen aus P. Stäckels Anmerkungen in Euler (1744), E065, in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen.
  112. C. Carathéodory (1952), S. IX, hier in der LiteraturSonstiges.
  113. Seite 245–301 in Euler (1744), hier angegeben unter den SchriftenPublikationen (Auswahl).
  114. Siehe die Historical Introduction , S. 3 in A. E. H Love, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 2nd ed., Cambridge 1906. Online archive.org.
  115. Siehe auch István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin Seite 123.
  116. So die Erwähnung im Hauptteil von Euler (1744/1894), E065 (hier angegeben unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 110). Der Wortlaut steht in den dortigen Anmerkungen von P. Stäckel, S. 142.
  117. Wann immer eine Hypothese oder eine Idee nicht von Euler selbst ist, weiß er dies stets offen und ehrlich mitzuteilen: in diesem Fall siehe Euler (1744/1910), (hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen), S. 19.
  118. Siehe dazu insbes. S. 336 (Kap. 10.8: Variational Calculus, Energy Theorems, […] Static Loading on an Beam), in Y. C. Fung, P. Tong, Classical and Computational Solid Mechanics. (World Scientific) Singapore, New Jersey, London 2001. Effektiv handelt es sich um das aus der Technischen Mechanik bekannte infinitesimale Potentialelement mit Elastizitätsmodul und Flächenmoment .
  119. Seite 200 in C. Truesdell (1960), hier im Literatur-Verzeichnis (→ Monografien und Sammelbände).
  120. Das ist Euler: Von den elastischen Kurven. Seite 18 – 100 in : Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910. (Siehe auch hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen.)
  121. Mit dem Titel Additamentum II: De motu projectorum in medio non resistente, per Methodum maximorum ac minimorum determinando (Über die Aktion von bewegten Körpern), Seite 309 – 320 in Euler (1744), hier angegeben unter den SchriftenPublikationen (Auswahl).
  122. So C. Carathéodory (1952), S. X, hier in der LiteraturSonstiges.
  123. Siehe dazu auch H. Heuser (2008), S. 151, hier in der LiteraturSonstiges.
  124. Siehe auch István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin Seite 123 f.
  125. Euler (1744), E065, in der deutschen Übers. von Aycock und Diemer (Euler-Kreis Mainz) , hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 299 f.
  126. A. J. Lotka: Studies on the mode of growth of material aggregates. American Journal of Science, 24, S. 199–216.
  127. R. E. Bradley: Euler’s analysis of the Genoese lottery. 2004.
  128. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. 341.
  129. Gerald L. Alexanderson: About the cover: Euler and Königsberg's Bridges: A historical view. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 43, Nr. 04, 18. Juli 2006, ISSN 0273-0979, S. 567–574, doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X (ams.org [abgerufen am 19. Februar 2023]).
  130. Commentarii. 28. Januar 2020, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 19. Februar 2023.
  131. Solvtio problematis ad geometricam situs. (PDF) Abgerufen am 19. Februar 2023.
  132. Gerald L. Alexanderson: About the cover: Euler and Königsberg's Bridges: A historical view. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 43, Nr. 04, 18. Juli 2006, ISSN 0273-0979, S. 567–574, doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X (ams.org [abgerufen am 19. Februar 2023]).
  133. David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 421.
  134. David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 430.
  135. A. L. Cauchy: Recherche sur les polyèdres – premier mémoire. In: Journal de l’École Polytechnique. 9 (Cahier 16), 1813, S. 66–86.
  136. S.-A.-J. L’Huillier: Mémoire sur la polyèdrométrie. In: Annales de Mathématiques. Band 3, 1861, S. 169–189.
  137. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. 10.
  138. Peter Bernhard: Euler-Diagramme. Zur Morphologie einer Repräsentationsform in der Logik. 1. Auflage. mentis Verlag, Paderborn 2001, ISBN 3-89785-142-3.
  139. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 467.
  140. Siehe aktuell etwa H. Iro (2008), hier in der LiteraturSonstiges, S. 237 und 243.
  141. Siehe dazu auch Fellmann (1995), in der u. a. Literatur, S. 44.
  142. Nach Condorcet (1786), im u. a. Literatur-Verz. → Sonstiges, S. 41 f. In der engl. Übersetzung Euler (1795), S. xliii.
  143. Siehe Calinger (2016) u. a. Literatur, S. 2 (Introduction) .
  144. L. Euler:, Mechanica, Sive Motus Scientia Analytice Exposita. 1. Auflage. Petersburg 1736. § 123, S. 2. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 1 (hrsg. v. P. Stäckel). Bern 1912. Online-Präsenz unter: E015. Hier in der deutschen Übersetzung genommen von J. P. Wolfers, Leonhard Euler’s Mechanik oder Analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Erster Theil. (Koch) Greifswald 1848, S. 3. Online: Textarchiv – Internet Archive (Zugriffsdatum:18. Feb. 2023). Der lateinische Originaltext lautet: „Sed quod omnibus scriptis, quae sine analysi sunt composita, id potissimum Mechanicis obtingit, ut Lector, etiamsi de veritate eorum, quae proferuntur, convincatur, tamen nonsatis claram et distinctam eorum cognitionem assequatur, ita ut easdem quaestiones, si tantillum immutentur, proprio marte vix resolvere valeat, nisi ipse in analysin inquirat, easdemque propositiones analytica methodo evolvat.“
  145. Siehe hier in der zeitgenössischen Rezeption
  146. Siehe aktuell etwa H. Iro (2008), hier in der LiteraturSonstiges, S. 237. Dort wird auch bemerkt, dass Eulers Beiträge für die Mechanik historisch sehr unterschiedlich bewertet worden sind.
  147. H. Heuser (2008), S. 148 f., hier in der LiteraturSonstiges, daraus auch die Wortlaute. Das soll nicht heißen, dass Euler auf jegliche geometrische Beweisverfahren verzichtet hätte, wie schon sehr bald später Lagrange seine ‹Analytische Mechanik› konstruiert haben wird. Das Gegenteil war der Fall, neue Kontexte wurden von Euler in der Mechanik zunächst nur geometrisch erschlossen. Siehe dazu auch hier Abschnitt VariationsrechnungVerfechter der geometrischen Verfahrensweise.
  148. Mechanica, volume 1, auf cholarlycommons.pacific.edu
  149. Mechanica, volume 2, auf scholarlycommons.pacific.edu
  150. Allein ihr grundlegender (primitiver) Charakter wird noch offen gelassen. Die qualitative Eigenständigkeit der Kraft wird hingegen in späteren Werken Eulers in Frage gestellt. Zu diesem metaphysischen Unterschied siehe v. a. Pulte (1989), in der hier angegebenen LiteraturMonografien und Sammelbände. Darin insbes. Abschn. 1.1 (Die Mechanica von 1736), S. 106–110.
  151. Siehe Euler (1736), S. 61 ff.: Prop. 19 und Coroll. 1 u. 2; zur Energieerhaltung insbes. Prop. 20, S. 64, Coroll. 3 ; sowie in Deutsch: Euler, Wolfers (1848), S. 48.f. Zur Energieerhaltung S. 51.
  152. L. Euler:, Mechanica, Sive Motus Scientia Analytice Exposita. 1. Auflage. Petersburg 1736. § 123, S. 37. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 1 (hrsg. v. P. Stäckel). Bern 1912. Online-Präsenz unter: E015. Hier in der deutschen Übersetzung genommen von J. P. Wolfers, Leonhard Euler’s Mechanik oder Analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Erster Theil. (Koch) Greifswald 1848, S. 31 f. Online: Textarchiv – Internet Archive (Zugriffsdatum:18. Feb. 2023). Der lateinische Originaltext lautet: „Primo enim contemplabimur corpora infinite parva seu quae tanquam puncta spectari possunt. Deinde corpora finitae magnitudinis aggrediemur ea, quae sunt rigida neque figuram suam matari patiuntur. Tertio agemus de corporibus flexibilius. quarto de iis quae extensionem et contractionem admittunt. Quinto plurium corporum solutorum motus examine subiiciemus, quorum alia impediunt, quin motus suos possint, ut conantur absolvere. Sexto vero de motu fluidorum erit agendum.“
  153. D.i. Euler (1752), Découverte d’un nouveau principe de Méchanique. Zuerst veröffentlicht in: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin, Band VI, pp. 185-217. E177
  154. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. 11.
  155. Das Prinzip wurde bereits hier im Abschnitt Variationsrechnung«Ergänzungen» vorgestellt, in welchem Zusammenhang Euler es auch erstmals in seinem Werk Euler (1744), E065, präsentierte.
  156. Euler (1744), E065, in der deutschen Übers. von Aycock und Diemer (Euler-Kreis Mainz) , hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen: S. 299 f.
  157. siehe dazu Euler (1744), Additamentum II (E065), siehe hier unter Schriften, in der deutschen Übersetzung von A. Aycock und A. Diener: S. 308 f. (Stand: 20. Januar 2024).
  158. Euler spricht in diesem Kontext der Behandlung von empirisch zu prüfenden Kurven, die damit ein Wissen a posteriori darstellen, auch von einer ‹indirekten Methode› (so etwa auf Seite 18 in: Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910).
  159. Siehe etwa Seite 106 in I. Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. (S. 86–106 Der Prioritätsstreit um das Prinzip der kleinsten Aktion).
  160. Man vergleiche mit der Rekonstruktion in H. Pulte (1989), hier in der LiteraturSonstiges: S.  176 f.
  161. Über die prominent besetzte Streitigkeit, hier oben Akademiestreit bezeichnet, um Maupertuis’ Beitrag in dieser Sache ist mittlerweile legendär zu nennen. Neuere Berichte darüber sind etwa E. Knobloch (2008), hier in der LiteraturSonstiges; oder auch I. Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996: S. 86–106 (Der Prioritätsstreit um das Prinzip der kleinsten Aktion).
  162. Siehe dazu L. Euler, Anleitung zur Naturlehre. In: P. H. Fuss u. N. Fuss (Hrsg.): Opera Postuma, Bd. 2: Mathematica et Physica. Petersburg 1862. Online: E842: Seite 493. Gesamtband: archive.org (Zugriffsdatum: 27. Februar 2023).
  163. L. Euler, Recherches sur les plus grands & plus petits qui se trouvent dans les actions des forces, E145. Erstveröffentlichung in den Histoire de l’Académie des Sciences Berlin et B, 1750: darin Seite 150.
  164. E. Knobloch (2008), S. 81, hier in der LiteraturSonstiges
  165. Das entspricht der heute so genannten Euler-Jacobi-Gleichung: Näheres dazu hier im Artikel Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers, Abschnitt Mechanik.
  166. Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. 283.
  167. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. S. 384.
  168. Christa Jungnickel, Russell McCormmach: Cavendish – The Experimental Life. S. 155.
  169. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 67.
  170. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute. S. 361.
  171. L. Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen: Erster Teil. Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, S. 11 (Einführung zur Reprintausgabe)
  172. Anne-Marie Dubler; Charlotte Kunz Bolt: Schiffbau. In: Historisches Lexikon der Schweiz (HLS). 17. November 2014, abgerufen am 29. April 2024.
  173. Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft, Bouger und Euler: Zur Begründung der Theorie der hydrostatischen Schiffsstabilität, Band 98, 2004, S. 183.
  174. Siehe dazu S. 18 in R. Thiele (2008), Euler und Basel; hier in der LiteraturSonstiges.
  175. Peter Pesic: Music and the Making of Modern Science. S. 133.
  176. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 73–74.
  177. Leonhard Euler, Solution d’une question curieuse que ne paroit soumise à aucune analyse E309, erschienen 1766.
  178. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. 162.
  179. Siehe dazu insbes. Nicolas de Condorcet, Éloge de M. Euler (1786), im Literaturverz. hier (Sonstiges), S. 37–38.
  180. W. Breidert (2007), hier in der LiteraturSonstiges: S. 98.
  181. So auch R. Thiele (2008), Leonhard Euler und die Philosophie, S. 500; hier in der LiteraturSonstiges.
  182. Siehe dazu H. Pulte (1989), im Literaturverzeichnis hier (→Monografien und Sammelbände), S. 112.
  183. Auch Émile Saisset stellt das in seiner Einleitung zu den Lettres à une princesse d’Allemagne fest: in der 9. Auflage, (Charpentier) Paris 1843, S. iv f. Online:archive.org.
  184. Wissenschaftshistoriker halten unterschiedliche Aspekte in Eulers philosophischem Werk für ‹originell›. G. Kröber (1983) etwa, in der hier angegebenen Literatur (Sonstiges), S. 17 f., hebt z. B. das Neuartige der Materiekonzeption hervor. Während A. Speiser (1960), S. XXVII f., die Konzeption der Willensfreiheit in Eulers Briefe an eine deutsche Prinzessin (2. Teil von E344) für wegweisend erklärt, ist sie Kröber nicht einmal eine Bemerkung wert.
  185. Die historische Diskussion zu diesem Punkt rangiert zwischen den Positionen, dass Euler entweder wenig Interesse daran zeigte oder aber wenig Talent in der eigenen Umsetzung. Man vergleiche dazu W. Breidert (2007), hier in der LiteraturSonstiges: S. 97; oder aber H. E. Timerding, Kant und Euler. In: Kant-Studien Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18.
  186. L. Euler:, Institutiones Calculi Differentialis. Petersburg 1755. Kap. III, § 81, p. 76. Online-Präsenz: archive.org (Zugriff am 11. Februar 2023). Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung: J. D. Blanton (Hrsg.): Leonhard Euler, Foundations of Differential Calculus. (Springer) New York, Berlin, Heidelberg 2000, S. 50. Die Textpassage lautet im lateinischen Original: „Mathesis enim nos imprimis a fallacia sensum defendit, atque docet obiecta, quae sensibus pecipiuntur, aliter reversa esse comparata, aliter vero apparere: haecque scientia tutissima tradit praecepta, quae qui sequuntur, ab illusione sensuum immunes sunt. Huiusmodi ergo responsionibus, tantum abest, ut Metaphysici suam doctrinum tuenatur, ut eam potius magis suspectam efficiant.“
  187. L. Euler: Principes généreaux du mouvement des fluides. In: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin. Volume 11, Berlin 1757, S. 274. Außerdem in: Opera Omnia. Ser. 2, Volume 12, S. 54–91. Online-Präsenz unter: E226. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023). Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung: U. Frisch, Translation of Leonhard Euler’s: General Principles of the Motion of Fluids. In: archive.org. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023), S. 1. Die Textpassage lautet im französischen Original: „[C]ependant j’espère d’en venir aussi heureusement à bout, de sorte que s’il y reste des difficultés, ce ne sera pas du côté du méchanique, mais uniquement du côté de l’analytique: cette science n’etant pas encore portée à ce degré de perfection, qui seroit nécessaire pour d’developper les formules analytiques […].“
  188. Detaillierte Nachweise siehe M. Friedman, Kant’s Construction of Nature. Cambridge; New York, Melbourne 2013. Darin insbes. S. xii, S. 135, 139 (Kap. 12: Matter as an originally fluid an elastic medium). Kant hat nachweislich viele seiner physikalischen Erkenntnisse und Überzeugungen durch Eulers Lettres à une princesse d’Allemagne sur quelques sujets e physique et de philosophie, Petersburg 1768–1772 (E343, E344), erworben. Friedman belegt auch Kants Lektüre der folgenden Schriften: Principes generaux de l’ état d’équilibre des fluides (E225), Réflexions sur l’espace et le tems (E149), Nova theoria lucis et colorum (E088), Gedancken von den Elementen der Cörper (E081) sowie nicht zuletzt Eulers Mechanica, sive motus scientia analyticae (E015, E016) . Zugriffsdatum: 12. Februar 2023.
  189. H. E. Timerding: Kant und Euler. In: Kant-Studien Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18–64 (online).
  190. S. Gaukroger: The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force. In: The British Journal for the History of Science. Volume 15, Issue 2, July 1982, S. 134.
  191. Man findet den lateinischen Wortlaut Natura non operatur per saltum etwa in der Schrift von Eulers Lehrmeister Johann I Bernoulli, Discours sur les loix de la communication du mouvement. In: Johannis Bernoulli, Opera Omnia, Band III. Lausanne, Genf 1742, S. 9, § 5 des Kap. 1. Siehe aber auch C. I. Gerhardt (Hrsg.): Leibnizens Mathematische Schriften. Berlin 1860. Bd. 6, S. 248. Online: Specimen Dynamicum – II (Zugangsdatum:: 13. février 2023).
  192. L. Euler: Principia motus fluidorum. S. 273 (§ 6). In: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, Volume 6, S. 271–311. Außerdem in: Series 2, Volume 12, S. 133–168. Online-Präsenz unter: E258. (Zugriffsdatum: 14. Februar 2023). Man vergleiche auch mit der deutschen Übersetzung von A. Aycock: Prinzipien der Bewegung von Fluiden (Zugriffsdatum: 14. Februar 2023), § 6, p. 3. Die Textpassage lautet im lateinischen Original: „[S]tatuo nimirum in medio fluidi durante motu nullum spatium a fluido vacuum relinqui, sed continuitatem in eo iugiter conservari.“
  193. Das ist auch der Wortlaut in Eulers Anleitung zur Naturlehre (E842), die noch am ehesten systematische Fassung seiner Kontinuumsanschauung. Siehe dort etwa Kap.XIII (Von den besonderen Eigenschaften der groben und subtilen Materie), S. 510. (Zugriffsdatum: 14. Februar 2023).
  194. Man vergleiche zu Descartes’ und Leibniz’ Materiekonzeption R. Dugas, La Mécanique au XVIIe siècle. (Dunod) Paris 1954: Kap. 7 (La pensée mécanique de Descartes), § 20 (Le mécanisme au sens des Principes), Abschnitt e) (Le monde visible), S. 186–193; und: Kap. 14 (La pensée mécanique de Leibniz), § 3 (Theoria motus concreti), S. 463–366.
  195. L. Euler: Recherches physique sur la nature des moindres parties de la matière. S. 293 f. (§ 7). Opuscula varii argumenti, Volume 1, S. 287–300. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 1, S. 3–15. Online-Präsenz unter: E091. (Zugriffsdatum: 14. Februar 2023). Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung von M. P. Saclolo, P. Wake (2011): Physical Investigation On the Nature of the Smallest Parts of Matter (Zugriffsdatum: 14. Februar 2023), § 7, p. 4. Die Textpassage lautet im französischen Original: „Ces particles seront donc d’une grandeur finite, par consequent composées de parties plus petites encore, & ainsi bien differentes de celles, qui sont comprises sous le nom d’elemens.“
  196. Auch mit Blick auf Eulers Konzeption spricht Immanuel Kant später noch im Kommentar seiner zweiten Antinomie der reinen Vernunft von einem ‚mathematischen Beweisgrund‘. Siehe Seite 307 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft von 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968.
  197. Zu dieser Cartesischen Tradition bei Euler siehe L. B. Kraus, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände. (De Gruyter) Berlin, Boston 2016. Abschn. 2.1 (Ausdehnung : Teile), S. 17, S. 28 Anm. 33.
  198. W. Breidert (2007), hier in der LiteraturSonstiges: S. 102.
  199. Diesen analytischen Zusammenhang zwischen Materieauffassung und Analysis erläutert Euler insbes. in Institutiones Calculi Differentialis, Vol. 1. Petersburg 1755. Kap. III (De infinitis atque infinite paruis). Neu veröffentlicht in Opera Omnia, Series 1, Volume 10, S. 1–676. Eneström-Index (E212). archive.org (Zugriff 15. Februar 2023).
  200. In: Opera Omnia. Series 3, Volume 2, S. 347–366. Online unter E081 (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023).
  201. Siehe v. a. C. Truesdell. R. Toupin, J. Ericksen: The Classical Field Theories. In: S. Flügge: Handbuch der Physik. Band III-1: Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Springer, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg 1960. §§ 5 u. 6 (Deformation, Continuity), S. 243 f., Anm. 1, sowie § 65 (Motion and Continuity) S. 325 f.
  202. G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics. (Dover) New York, 1971, S. 76–77.
  203. Siehe Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers, und darin: Abschnitt Strömungsmechanik, sowie den Eintrag Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik).
  204. L. Euler: Principes généreaux du mouvement des fluides. In: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin. Volume 11, Berlin 1757, S. 274. Außerdem in: Opera Omnia. Ser. 2, Volume 12, § 1, S. 284 und § 24, S. 288. Online-Präsenz unter: E226. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023). Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung: U. Frisch, Translation of Leonhard Euler’s: General Principles of the Motion of Fluids. In: archive.org. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023), § 17, S. 6 und § 24, S. 7.
  205. In heutiger Darstellung vgl. v. a. mit A. Sommerfeld, Mechanik der deformierbaren Medien. (= Vorlesungen über Theoretische Physik. Band II). 6. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt. a. M. 1992, S. 83/84.
  206. Zitiert in G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics. (Dover) New York, 1971: S. 77.
  207. L. Euler:, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. 1. Auflage. (Röse) Rostock 1765. § 123, S. 46. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 3 (hrsg. v. C. Blanc). Bern 1948. Online-Präsenz unter: E289. (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023). Hier in der deutschen Übersetzung genommen von J. P. Wolfers, Leonhard Euler’s Mechanik oder Analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Dritter Teil. (Koch) Greifswald 1853, S. 54 f. Online unter Archive.org (Zugriffsdatum:18. Feb. 2023). Der lateinische Originaltext lautet: „Impenetrabilitas est ea corporum proprietas, qua duo plurave corpora in eodem loco inesse nequeunt, atque adeo ad minima corporum elementa extenditur, ita ut ne duo quidem elementa in eodem loco existere possint.“
  208. Zu Eulers Kraftbegriff siehe hier den Eintrag Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers, und darin insbes. Abschnitt Mechanik. Siehe außerdem im Eintrag Briefe an eine deutsche Prinzessin Abschnitt Metaphysik der Materie.
  209. S. Gaukroger: The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force. In: The British Journal for the History of Science. Volume 15, Issue 2, July 1982: S. 135–138.
  210. Pulte (1989), darin insbes. Abschn. 3.2 (Die Rationalisierung des Kraftbegriffs (2): Undurchdringlichkeit), S. 161–170.
  211. L. B. Kraus, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände. (De Gruyter) Berlin, Boston 2016: S. 29 (Abschn. 2.4: Materielle Gegenstände), u. S. 161 (Abschn. 5.3: Vergleich mit der hier vertretenen Charakterisierung ausgedehnter Gegenstände).
  212. Laut Truesdell, Toupin (1960), im obigen Einzelnachw, S. 326 Anm. 1, findet sich dieser Beweis erstmals in J. Hadamard, Leçons sur la Propagation des Ondes et les Équations de l’Hydrodynamique (Herman) Paris 1903, § 46, S. 60. Siehe auch B. Russell, The Principles of Mathematics. 2. Aufl.(Norton) New York 1903: Chapter LIII (Matter), § 440, S. 467.
  213. In: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin. Vol. 4, S. 324–333. Außerdem in: Opera Omnia. Series 3, Volume 2, S. 376–383. Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung von M. P. Saclolo, P. Wake (2009): Reflections On Space and Time (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023).
  214. L. Euler (1765), Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (E289): § 80, S. 31. Hier in der deutschen Übersetzung Wolfers (1853), S. 37. Der lateinische Originaltext lautet: „Qualis autem haec futura fit quies, qualisve hic motus? cum mutatio situs respectu aliorum corporum hic nullum inveniat locum, ne cogitare quidem possumus, nisi spatium absolutum admittamus, in quo nostrum corpus locum quendam occupet, indeque in alia loca transire possit.“
  215. H. Pulte, Leonhard Euler’s Theory of Space and Time and its Reception by Kant. In: I. Grattan-Guinness, H. Pulte: Mini-Workshop: The Reception of the Work of Leonhard Euler (1707–1783). Oberwolfach Rep. 4 (2007), 2251-2254. Online: Math. Forschungsinst. Oberwolfach, Workshop Report 2007,38 (Zugriffsdatum 18. Februar 2023).
  216. R. Thiele: Leonhard Euler und die Philosophie. S. 501; hier unter LiteraturSonstiges
  217. zu der Beweichnung siehe auch I. Kant (Zur Unmöglichkeit eines physikoteleologischen Gottesbeweises), ab Seite 413 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft von 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968
  218. Diese Parallelen zwischen Euler und Leibniz werden insbes. dargestellt in A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S. 3–26. Darin heißt es auf Seite 24: «Euler, der später so scharf gegen die Leibnizische Monadologie streitet, steht ganz auf dem Boden der Leibnizischen Teleologie».
  219. E. Knobloch (2008), S. 80, hier in der LiteraturSonstiges.
  220. H. Heuser (2008), S. 151., hier in der LiteraturSonstiges.
  221. A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928. Die hier übersetzte lateinische Passage ist entnommen: G. W. Leibniz, De rerum originatione radicali, (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Autographum Leibnitii nondum editum; e scriniis Bibliotlhecæ Regiæ Hanoveranæ (1697), p. 267–294. Die Passage befindet sich dort auf Seite 660: «Semper scilicet est in rebus principium determinationis quod al maximo minimove petendum est, ut nempe maximus præstetur effectus minimo ut sic dicam sumtu».
  222. H. Heuser (2008), S. 151, hier in der LiteraturSonstiges, dort zitiert in der Übersetzung aus I. Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996: Seite 93. Die französische Originalschrift lautet: P. Maupertuis, Les Loix du mouvement et du repos, (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres (1746), p. 267–294. Die Passage befindet sich auf Seite 290: «Lors qu’il arrive quelque changement dans la Nature, la Quantité d’Action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qu’il soit possible».
  223. Siehe hier unter Wissenschaftliches WerkPhysik und Astronomie.
  224. Siehe dazu auch neben Knobloch (2008), hier in der LiteraturSonstiges, vor allem H. Pulte (1989), Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II auch hier in der LiteraturSonstiges): S. 200 f. (Der Prioritätsverzicht Eulers).
  225. Die Streitschriften Eulers hierzu datieren vor allem aus den anfänglichen 1750er Jahren: etwa Sur le principe de la moindre action Berlin, 1753 (E198).
  226. H. Pulte (1989), Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II: auch hier in der LiteraturSonstiges): S. 193 f. (Kap. III: Euler und Maupertuis als gleichzeitige Entdecker).
  227. H. C. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. (Springer) New York, Heidelberg, Berlin 1980: S. 67 f. (Kap. 2: Euler)
  228. Siehe A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S. 9 f.
  229. Euler: Von den elastischen Kurven. Seite 18 – 100 in: Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910. (Siehe auch hier unter SchriftenDeutsche Übersetzungen.)
  230. Das wird auch hier unter Überzeugungen gegenüber Philosophie und ReligionUndurchdringlichkeit genannt.
  231. Siehe dazu insbes. Pulte (1989), hier in der LiteraturSonstiges: und S. 146 und 176.
  232. W. Breidert (2007), hier in der LiteraturSonstiges: S. 98.
  233. Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996: 121–166. doi:10.1006/hmat.1996.0015, S. 153–154.
  234. Nikolaus von Fuss: Grabrede für Euler. 1783, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 24. März 2015; abgerufen am 22. Februar 2017.
  235. Leonhard Euler: Opera omnia. ser. IVA, vol. 1 (Hrsg.): Adolph Pavlovitch Jusˇkevicˇ et al.: Briefwechsel. Birkhaüser, Basel 1975, S. 115.
  236. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 462.
  237. Leonhard Euler: Opera omnia. ser. I, vol. 10, Gerhard Kowalewski (Hrsg.): Institutiones calculi differentialis. Teubner, Leipzig 1913, esp. 69–71, S. 136.
  238. Leonhard Euler: Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister. Leonhardi Euleri Opera Omnia (3. Auflage), 1960. 12.
  239. Michael Raith: Der Vater Paulus Euler. Zur geistigen Herkunft Leonhard Eulers. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 465.
  240. Man vgl. hier S. 497 und 504 in R. Thiele (2008), Leonhard Euler und die Philosophie; hier in der LiteraturSonstiges.
  241. a b c Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 501.
  242. Jacques Marty: Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes. Recherches Sur Diderot et Sur l’Encyclopédie. 4 (1), 1988, S. 145–147.
  243. Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics (3. überarbeitete Edition). Dover Books, 1967, S. 129.
  244. R. J. Gillings: The So-Called Euler-Diderot Anecdote. American Mathematical Monthly. 61 (2), Februar 1954, S. 77–80. doi:10.2307/2307789.
  245. Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics. Dover, dritte überarbeitete Auflage, 1967, (Online-Kopie), S. 129.
  246. Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. ix–x
  247. Leonhard Euler: Briefwechsel. Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 505–509.
  248. a b Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 32.
  249. a b Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 33.
  250. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 71.
  251. Dirk Jan Struik: Abriss der Geschichte der Mathematik. Springer, S. 139.
  252. Siehe vor allem C. Gilain, V. Hug, R. Taton (Hrsg.) Correspondance de Leonhard Euler avec M.J.A.N. Caritat, Marquis de Condorcet et A.R.J. Turgot. Publikationen des Bernoulli-Euler-Zentrums. In: Opera Omnia IVA 9, edition en ligne, Bale 2020. Online-Prescript: Band 5 (2020).
  253. Das ist Condorcet (1786), im u. a. Literaturverzeichnis. Siehe auch Calinger (2016), im Literatur-Verz. (→Monografien und Sammelbände), Seite 532 f.: Major Eulogies and an Epilogue.
  254. Das ist Condorcet (1787), im u. a. Literaturverzeichnis. Diese Fassung wurde von H. Hunter ins Englische übersetzt. Siehe etwa die zweite englische Auflage der Letters of Euler to a German Princess. p. xxxiii – xvii. Onlinezugang: Textarchiv – Internet Archive.
  255. Condorcet (1786), Seite 42; auch mit der englischen Übersetzung von H. Hunter in Euler (1802), S. xli. verglichen
  256. Eulers gesamte Arbeit der Variationsrechnung steht unter diesem Vorzeichen der festigenden Bestätigung vorangehender Resultate. Anders kann das Additamentum I de curvis elaticis zur Theorie der Elastica in Eulers Methodus Inveniendi (1744, E065) nicht verstanden werden. Siehe dazu C. Truesdell (1960), im hier angegebenen Literatur-Verz. (→Monografien und Sammelbände), Seite 200. Sämtliche Propositionen in seinen großen Werken enthalten oft mehrere Ergänzungen und Korrollarien, die auf weitere Deduktionen hinweisen.
  257. Condorcet (1787), im hier angeg. Literatur-Verz. → Sonstiges, Seite xxvi; auch mit der englischen Übersetzung von H. Hunter in Euler (1802), S. xlix. verglichen
  258. Man vergleiche auch mit Fellmann (1995), hier in der LiteraturMonografien und Sammelbände, S. 88.
  259. O. Krätz, Goethe und die Naturwissenschaften. (Callwey), München 1992, S. 174.
  260. J. W. v. Goethe, Materialien zur Geschichte der Farbenlehre. Band 14 der Hamburger Ausgabe. (dtv Beck) 9. Auflage , München 1994. Seite 222. Online: zeno.org
  261. Siehe oben Abschnitt Die Kontinuitätsauffassung
  262. Vgl. mit M. Stöckler, Materie. S. 1507 in: P. Kolmer, A. G. Wildfeuer (Hrsg.): Neues Handbuch philosophischer Grundbegriffe, Band 2. (Alber) Freiburg, München 2011.
  263. David R. Speiser, Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus. In: J. J. Burghardt, E. Fellmann, W. Habicht (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. (Birkhäuser) Basel 1983, S. 226.
  264. Siehe Max Born, Die Relativitätstheorie Einsteins. (Springer) Berlin, Göttingern, Heidelberg 1964. Abschn. IV.6: Der Äther als elastischer Körper. S. 93.
  265. In: P.H. Fuss u. N. Fuss (Hrsg.): Opera Postuma, Bd. 2: Mathematica et Physica. Petersburg 1862. Online: E842. Gesamtband: archive.org (Zugriffsdatum: 27. Februar 2023).
  266. Siehe D. Speiser (1983) in obigem Einzelnachweis, S. 226.
  267. W. Ahrens: Briefwechsel zwischen C.G.J. Jacobi und M.H. Jacobi. Leipzig 1907.
  268. a b Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi. Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.
  269. Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi. Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 100.
  270. K. R. Biermann: C. F. Gauß als Mathematik- und Astronomiehistoriker. Historia Math. 10, 1983, S. 422–434.
  271. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 1–2.
  272. Aleksander O. Gelfond: Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 100–101.
  273. Detlef Laugwitz: Die Nichtstandard-Analysis: Ideen und Methoden von Leibniz und Euler. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 187–188.
  274. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 34.
  275. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 415.
  276. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 462–464.
  277. Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 31.
  278. François Arago, Caritat de Condorcet., Seite [134] (Zugriffsdatum 17. Januar 2023.). Veröffentlichung in: Œuvres complètes de François Arago, secrétaire perpétuel de l’académie des sciences, 1854, 2 (p. 117-246).
  279. R. Fueter (1948), hier in der LiteraturMonografien und Sammelbände: S. 14 (Rechtschreibung dem heutigen Stand angepasst).
  280. Charles Blanc: Préface de l’éditeur. In: Leonhardi Euleri Opera Omnia. Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomica), Vol. 3: Theoria Motus Corporum Solidorum Seu Rigidorum (E289), Bern 1948. Seite VII.
  281. I. Szabó, Einführung in die Technische Mechanik (Springer) Berlin, Göttingen, Heidelberg 51961, Kap. 1 (Einführende Betrachtungen), S. 8.
  282. R. Dugas, A History of Mechanics. (Dover) New York 1988, S. 242.
  283. C. Blanc (1948), i. o. a. Einzelnachweis, S. IX.
  284. Sie sind originalgetreu in Fellmann (1995), in d. u. a. Literatur, S. 11 - 13, wiedergegeben worden
  285. D. i. die Dissertation E002, die auch in englischer Übersetzung vorliegt (I. Bruce): Euler (1727).
  286. Autobiographische Notiz aus dem Jahre 1767, abgedruckt in Fellmann (1995), S. 11 f.
  287. Euler Book Prize, Mathematical Association of America, abgerufen am 29. Februar 2020.
  288. Eberhard Knobloch: Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 in Berlin. Birkhäuser, 1984, S. XI
  289. Gerd Biegel, Angela Klein und Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker. Disquisitiones Historiae Scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte Bd. 3. Braunschweigisches Landesmuseum. Braunschweig 2008, S. 9.
  290. Gerd Biegel, Angela Klein, Menso Folkerts, Karin Reich und Thomas Sonar: Euler-Ausstellung in Braunschweig, Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
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