Cliquenweite

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Die Cliquenweite ist ein Begriff aus der Graphentheorie und ordnet jedem ungerichteten Graphen eine natürliche Zahl zu. Sie ist daher ein Graphparameter. Mit Hilfe eines k-Ausdrucks (s.u.) lassen sich viele NP-vollständige Probleme wie zum Beispiel HAMILTONKREIS oder CLIQUE und das damit eng verwandte UNABHÄNGIGE MENGE in Zeit lösen, was für konstante eine lineare Laufzeit ist. Da jedoch nicht bekannt ist, ob ein k-Ausdruck hinreichend schnell berechnet werden kann, ist es zur Zeit unklar, ob man hieraus folgern kann, dass diese Probleme auf Graphen mit beschränkter Cliquenweite effizient zu lösen sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der Cliquenweite eines Graphen wurde erstmals von Bruno Courcelle und Stephan Olariu eingeführt[1]. Für die Definition der Cliquenweite muss zunächst der Begriff des k-markierten Graphen eingeführt werden:

k-markierter Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für ein sei
  • Ein k-markierter Graph ist ein Graph , dessen Knoten mit einer Markierungsabbildung markiert werden
  • Ein Graph mit genau einem mit markierten Knoten wird mit bezeichnet

Cliquenweite[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein -markierter Graph hat eine Cliquenweite von höchstens , wenn in der Graphklasse enthalten ist. Dabei ist induktiv wie folgt definiert:

  1. Der -markierte Graph (ein Graph bestehend aus einem Knoten mit Markierung ) ist in für alle
  2. Seien und knotendisjunkte -markierte Graphen. Dann ist ihre disjunkte Vereinigung in , mit
    1.   
  3. Seien mit und ein -markierter Graph. Es sind
    1. der -markierte Graph, der aus G entsteht indem die Markierung aller mit markierten Knoten durch eine Markierung mit ersetzt wird in mit   
    2. der -markierte Graph, der aus G entsteht indem alle mit markierten Knoten verbunden werden mit allen Knoten, die mit markiert sind. in mit

Die Cliquenweite eines markierten Graphen ist die kleinste natürliche Zahl mit und wird mit bezeichnet.

Ein Ausdruck , der sich aus den Operationen , , und , wobei , zusammensetzt, wird als Cliquenweite-k-Ausdruck oder k-Ausdruck bezeichnet.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der ungerichtete Graph mit 6 Knoten hat eine Cliquenweite von 3, da er sich mit den folgenden Operationen erzeugen lässt:

3-Ausdrucksbaum für die Konstruktion des
Cliquenweite-Operation Visualisierung des Graphen
Cwg1.png
Cwg222.png
Cwg22.png
Cwg4.png
Cwg5.png
Cwg6.png
Cwg7.png
Cwg8.png
Cwg9.png
Cwc6.png

Der zugehörige -Ausdruck ist

Rechts ist der entsprechende 3-Ausdrucksbaum für abgebildet.

Cliquenweite spezieller Graphklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl das Bestimmen der Cliquenweite eines Graphen im Allgemeinen NP-vollständig ist, lässt sich die Cliquenweite von gewissen Graphen mit speziellen Eigenschaften zumindest nach oben abschätzen. Es existieren die folgenden Zusammenhänge:

Weiterhin ist bekannt, dass Co-Graphen eine Cliquenweite von höchstens 2 haben und dass jeder Graph mit einer Cliquenweite von höchstens 2 ein Co-Graph ist.

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und Baumweite[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existieren mehrere Zusammenhänge zwischen der Cliquenweite und der Baumweite eines ungerichteten Graphen .

Die folgende Aussage zeigt, dass sich durch nach oben abschätzen lässt[2]:

Umgekehrt hingegen lässt sich die Baumweite eines Graphen im Allgemeinen nicht durch seine Cliquenweite beschränken, wie man sich leicht am Beispiel vollständiger Graphen überlegen kann:

Der vollständige Graph mit Knoten hat eine Baumweite von und eine Cliquenweite von höchstens 2. Somit gilt für alle mit :

.

Allerdings lässt sich unter gewissen Umständen auch die Baumweite durch die Cliquenweite nach oben abschätzen.

Besitzt keinen vollständig bipartiten Graphen als Teilgraphen, so gilt die folgende Aussage[3]:

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und NLC-Weite[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Cliquenweite lässt sich sowohl nach unten als auch nach oben durch die NLC-Weite abschätzen:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bruno Courcelle, Stephan Olariu: Upper bounds to the clique width of graphs, Discrete Applied Mathematics 101 (1–3): 77–144, 2000, doi:10.1016/S0166-218X(99)00184-5
  2. Derek Corneil, Udi Rotics: On the Relationship between Clique-Width and Treewidth, Lecture Notes in Computer Science, 2001, Volume 2204/2001, 78-90, doi:10.1007/3-540-45477-2_9
  3. Frank Gurski, Egon Wanke: The Tree-Width of Clique-Width Bounded Graphs without , Lecture Notes in Computer Science, 2000, Volume 1928/2000, 221-232, doi:10.1007/3-540-40064-8_19

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bruno Courcelle, Stephan Olariu: Upper bounds to the clique width of graphs, Discrete Applied Mathematics 101 (1–3): 77–144, 2000, doi:10.1016/S0166-218X(99)00184-5
  • Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010, ISBN 978-3-642-04499-1
  • Jörg Rothe: Komplexitätstheorie und Kryptologie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79744-9