Craig-Interpolation

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Die Craig-Interpolation ist ein Ausdruck der Logik. Der zugrunde liegende Satz (Craig’s Lemma, Interpolationstheorem) lautet folgendermaßen:

Es seien und zwei Theorien und der Satz sei ein in ableitbarer Satz. Dann gilt: Es gibt ein , sodass in ableitbar ist, und ist in ableitbar.

Das Interpolationstheorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Interpolationstheorem wurde zuerst von dem US-amerikanischen Logiker William Craig (1918–2016) 1953 aufgestellt. Es wurde von S. Maehara und von Kurt Schütte (für intuitionistische Kalküle) bewiesen und hat zahlreiche Anwendungen in der Beweis- und Modelltheorie.

Algorithmus zur Bestimmung der Craig-Interpolante für die Aussagenlogik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzung: Die Formel sei in einem korrekten Kalkül ableitbar, also tautologisch, oder, äquivalent, .

  1. Suche alle Atome, die in , aber nicht in enthalten sind.
  2. Für jedes dieser Atome ver-odere (Verknüpfung mit oder) mit sich selbst, wobei in jeder der beiden Kopien von das Atom einmal durch und einmal durch ersetzt wird.
  3. Die resultierende Formel ist die Craig-Interpolante .

Bei jedem Schritt wird eines der Atome, die nur in vorkommen, eliminiert. Man beachte, dass die Formel dabei exponentiell wächst – beim bearbeiten jedes einzelnen Atoms verdoppelt sich die Größe.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]