Defekt (Mathematik)

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Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.

Definition für lineare Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von sei , die Dimension von sei . Sei weiter eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz

.[1]

Defekt bei Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Matrix mit Elementen aus einem Körper kann als lineare Abbildung interpretiert werden. In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix durch

definiert. Der Defekt von ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems .

Ist  die Nullmatrix, so ist  gleich der Spaltenzahl von . Andernfalls ist gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das Gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes. Jede Matrix lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix mit für umformen, bei der mit einem die Diagonalelemente der ersten Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind ( ist der Rang der Matrix ). Der Defekt dieser Matrix ist dann (das ist die Aussage des Rangsatzes).

Sei vorausgesetzt, dass nicht die Nullmatrix ist. Streicht man aus diejenigen Spalten, die den Spalten in der Matrix entsprechen (hierbei sind während des Gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie . Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist), verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für ), ist der Defekt von gleich der Anzahl der Nullzeilen in .

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das Gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix

die aus durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie .

Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie

Rangsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Rangsatz

Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang einer linearen Abbildung .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Michael Artin: Algebra. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2, S. 123 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).