Determinantenfunktion

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Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:
(Additivität)
(Homogenität)
  • ist alternierend:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation : , wobei das Signum der Permutation bezeichnet.
  • Sind linear abhängig, so gilt . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
  • Sind zwei Determinantenfunktionen und , dann gibt es ein so, dass . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
  • , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
  • Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]