Diskussion:Äußeres Maß

Metrisches äußeres Maß

Es wird nicht klar, was "separierte Mengen" in der Definition bedeutet. Der Link ist da wenig hilfreich. Der Name legt für mich nahe, dass gemeint ist, dass die beiden Mengen einen positiven Abstand haben (wozu natürlich eine Metrik auf dem Raum benötigt wird). --Digamma 15:23, 30. Okt. 2007 (CET)

Die englische Version des Artikels verlangt, dass die Abschlüsse der beiden Mengen disjunkt sind. Ich habe aber auch keine originale Quelle für die Definition. --Drizzd 21:46, 30. Okt. 2007 (CET)

Die englische Version des Artikels verlangt, dass der Raum ein metrischer Raum ist und die beiden Mengen positiven Abstand haben. Das ist eine stärkere Bedingung als die, dass die Abschlüsse disjunkt sind. --Digamma 22:37, 30. Okt. 2007 (CET)

Oh, stimmt. Da war ich zu voreilig. --Drizzd 11:13, 31. Okt. 2007 (CET)

Aber jetzt steht es so dar, als wären die Bedingungen "positiver Abstand" und "durch Umgebungen zu trennen" äquivalent, was ja auch nicht stimmt. Z.B. die Graphen von y=e^x und y=-e^x im Raum X=R^2. Welche von den beiden wird denn nun benötigt, damit man das äußere Maß ein "metrisches" nennt? --84.150.123.32 18:40, 8. Nov. 2012 (CET)

Inwiefern ist $\nu _{\delta }(A)$ wohldefiniert? Es kann doch sein, dass $A$ in keiner abzählbaren Vereinigung von Mengen $A_{i}\in S$ mit Durchmesser $\operatorname {diam} (A_{i})<\delta$ enthalten ist, aber durchaus in einer abzählbaren Vereinigung von Mengen $A_{i}\in S$. Es wäre dann $\nu _{\delta }(A)$ nicht definiert. (nicht signierter Beitrag von 84.147.236.57 (Diskussion) 15:35, 2. Feb. 2015 (CET))

Als Ergänzung zu meinem vorigen Einwand:
1.) Es sollte $\operatorname {diam} (A_{i})\;{\color {red}\leq }\;\delta$ heißen.
2.) Die Festlegung $\nu _{\delta }(A)=+\infty$ sollte für alle Fälle gelten, in denen $A$ nicht in einer Vereinigung von Mengen mit Durchmesser $\operatorname {diam} (A_{i})<\delta$ enthalten ist. Dann wäre die Definition von $\nu _{\delta }(A)$ konsistent. In der englischen Version des Artikels wird es genau so gemacht. (nicht signierter Beitrag von 84.147.236.57 (Diskussion) 16:25, 2. Feb. 2015 (CET))

Ich kann diese Festlegung in der englischen Version gar nicht finden. Aber ich denke, dass die Definition so gemeint ist, dass das Infimum der leeren Menge den Wert $+\infty$ hat. --Digamma (Diskussion) 16:52, 2. Feb. 2015 (CET)

Es ist richtig, das steht dort nicht explizit im Abschnitt "Method II". Man kann dies aber analog annehmen wie im Abschnitt "Method I" davor. Dort steht "That is, the infimum extends over all sequences ${A_{i}}$ of elements of $C$ which cover $E$, with the convention that the infimum is infinite if no such sequence exists." (Unterstreichung von mir) (nicht signierter Beitrag von 84.147.236.57 (Diskussion) 18:00, 2. Feb. 2015 (CET))

Ich habe mal die von dir gewünschten Änderungen eingearbeitet. Ist das so OK? Meine Quelle ist H. Federer, Geometric Measure Theory. Dort wird das Infimum der leeren Menge als unendlich definiert. --Digamma (Diskussion) 19:02, 2. Feb. 2015 (CET)

Danke, so passt es. (nicht signierter Beitrag von 84.147.236.57 (Diskussion) 00:19, 3. Feb. 2015 (CET))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 08:41, 3. Feb. 2015 (CET)

Kürzere Definition

Monotonie und σ-Subadditivität lassen sich zusammenfassen, sodass nur zwei Eigenschaften gefordert werden müssen:

• $\nu (\emptyset )=0$
• $A\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\Rightarrow \nu (A)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\nu (A_{k})$

Einige Bücher, z.B. "Measure Theory and Fine Properties of Functions" von Lawrence C. Evans und Ronald F. Garpiepy, definieren ein äußeres Maß auf diese Weise.

Ich persönlich finde kürzere Forderungen immer schöner, allerdings wird sich der Orginalautor etwas bei der Formulierung im Artikel gedacht haben.. geht es um besseres Verständnis? Wie steht ihr dazu?

-- Pberndt 17:13, 14. Nov. 2008 (CET)

Auch wenn ich nicht der Hauptautor bin und bisher nichts zu diesem Artikel beigetragen habe, möchte ich etwas dazu sagen. Es ist wohl Ansichtssache, welche Axiomensysteme schön (oder schöner als andere) sind. Ich bin nicht der Meinung, dass möglichst minimale Axiomensysteme immer von Vorteil sind. In diesem Fall sind sowohl Monotonie wie auch σ-Subadditivität Begriffe, die in der Maßtheorie häufig auftauchen und relativ anschaulich sind. Auch wenn wir die von Dir vorgeschlagenen Axiome als Definition nehmen würden, kämen wir nicht darum herum, Monotonie und σ-Subadditivität als Eigenschaften aufzuführen. Auch bringt in meinen Augen Dein Axiomensystgem beweistechnisch keine oder nur kleine Vorteile.

Wenn in Deinem Augen Dein Vorschlag in der Literatur eine Relevanz hat, kann man allenfalls dies als alternative Definition in den Artikel einbauen.

UrsZH 15:31, 25. Dez. 2008 (CET)

Beide Definitionen einzupflegen ist wohl unnötig; sie sind schließlich (so weit ich das überblicke) äquivalent, das würde also nur unnötige Redundanz schaffen.

Der Vorteil, den ich in wenigen Forderungen sehe, ist, dass man weniger beweisen muss, wenn man ein neues Maß einführt. Für das Verständnis ist die Form, die auf der Seite steht, natürlich besser. -- Pberndt 13:32, 17. Jan. 2009 (CET)