Diskussion:Definitheit/Archiv

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Definitheitskriterium: Hauptminoren

es steht: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Hauptminoren alternieren..."

sollte es nicht besser heissen: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren"?

Allerdings. So wie es jetzt drinsteht "Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von − A positiv sind." ist es einfach nur falsch. (nicht signierter Beitrag von Fraupost (Diskussion | Beiträge) 2007-12-05T15:57:32)

Nein, falsch ist es nicht. Denn $A$ ist genau dann negativ definit, wenn $-A$ positiv definit ist. --Digamma 21:06, 5. Dez. 2007 (CET)

Gibt es denn einen Beweis dafür? Ich könnte schwören, daß ich erst vor ein paar Tagen damit baden gegangen bin und nur das Kriterium mit den alterniereden Vorzeichen der Haupminoren zuverlässige Ergebnisse gebracht hat. Ich schaue nochmal, ob ich das finde, denn das müßte dann ja als Gegenbeispiel herhalten. Oder aber, wenn ein Beweis existiert, habe ich mich verrechnet. :-/ (nicht signierter Beitrag von Fraupost (Diskussion | Beiträge) 2007-12-07T20:27:27)

Das ergibt sich direkt aus der Definition. Wenn $\langle Ax,x\rangle$ negativ ist, dann ist $\langle -Ax,x\rangle =-\langle Ax,x\rangle$ positiv, und umgekehrt. Das Kriterium für die Hauptminoren ergibt sich daraus mit den Rechenregeln für Determinanten:

Ist $B$ eine quadratische $k\times k$ -Matrix, so ist $\det B=(-1)^{k}\det B$. Übrigens: Könntest Du Deine Diskussionsbeiträge bitte signieren? Mit --~~~~ bzw. dem entsprechenden Button. --Digamma 19:33, 8. Dez. 2007 (CET)

Vielen Dank dafür; du schreibst wirklich sehr konstruktive Antworten. Nur eines verstehe ich nicht: Gilt $\det B=(-1)^{k}\det B$ nicht nur für gerade Zahlen $k$? Ich glaube, da fehlt noch ein Minuszeichen so in der Art von $\det B=(-1)^{k}\det(-B)$ bzw. $\det(-B)=(-1)^{k}\det B$.

Noch ein Vorschlag: Wäre es nicht sinvoll, auch die Version mit den alternierenden Vorzeichen der Hauptminoren kurz im Artikel als gleichwertig zu erwähnen? Ich kann mir gut vorstellen, daß ich nicht die einzige bin, die bisher nur dieses Kriterium für negative Definitheit kannte. --Fraupost 20:00, 8. Dez. 2007 (CET)

Ups, ja, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Richtig muss es natürlich heißen: $\det(-B)=(-1)^{k}\det B$. Zum Kriterium mit den alternierenden Hauptminoren: Mal schauen. --Digamma 20:09, 8. Dez. 2007 (CET)

ich verwies bereits auf den wp-artikel ueber determinanten. ueberlesen? also noch mal: Determinante (Mathematik)#Leibniz-Formel oder Determinante (Mathematik)#Laplacescher Entwicklungssatz. -- seth 14:27, 8. Dez. 2007 (CET)

hallo Fraupost. 1. du hast die ursprungsfrage nicht richtig verstanden. 2. wenn es falsch sein sollte, kannst du sicher ein gegenbeispiel angeben, oder? beachte dabei z.b. den artikel determinante. ;-) -- seth 10:48, 6. Dez. 2007 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 23:51, 21. Sep. 2023 (CEST)

Kein Hauptminorenkriterium für Semidefinitheit?

Im Abschnitt 2.3. Hauptminoren steht "Für Semidefinitheit gibt es kein Hauptminorenkriterium." In meinem Vorlesungsskript von der Uni steht aber, dass man für Semidefinitheit einfach > durch >= ersetzen muss. Der hier verlinkte Artikel http://ieeexplore.ieee.org/iel5/9/24131/01100319.pdf lässt sich nicht öffnen, ohne sich bei ieee anzumelden.

Weiß jemand näheres? (nicht signierter Beitrag von 78.53.133.2 (Diskussion) 22:32, 15. Feb. 2011 (CET))

Die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ ist indefinit, das Hauptminorenkriterium liefert jedoch der Reihe nach die Unterdeterminanten 1, 0 und 0. Nach dem Kriterium wäre die Matrix positiv semidefinit. --Digamma 17:23, 16. Feb. 2011 (CET)

Danke!

Für Semidefinitheit muss man ALLE Hauptminoren berechnen, nicht nur die FÜHRENDEN Hauptminoren. Man muss also alle Möglichkeiten durchgehen, gewissen Zeilen (und die gleichen Spalten} zu streichen, und nicht nur von rechts unten. Damit stimmt das Kriterium dann aber: die Matrix ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Hauptminoren nichtnegativ sind. (nicht signierter Beitrag von 139.18.255.172 (Diskussion) 14:24, 10. Mai 2013 (CEST))

Klingt plausibel, aber sicher bin ich mir nicht. Bisher kannte ich diese Kriterium nicht. Hast du dafür eine Quelle bzw. einen Beleg? --Digamma (Diskussion) 16:40, 10. Mai 2013 (CEST)

http://www.sfu.ca/~mdevos/notes/semidef/semidef_mat.pdf

Der Beweis (2)->(4) scheint mir hier allerdings falsch. Man darf in U nicht einfach auch die Zeilen/Spalten löschen. Allerdings stimmt die Aussage trotzdem: eine positiv semidefinite Matrix hat nichtnegative Determinante, denn sie ist das Produkt über alle Eigenwerte. Jede Untermatrix die durch Löschen von Zeilen und denselben Spalten entsteht, ist aber auch positiv semidefinite. Also sind alle Hauptminoren nichtnegativ. Der Rest scheint zu stimmen. Ich werde die Aussage im Hauptartikel ändern. (nicht signierter Beitrag von 78.53.93.181 (Diskussion) 13:44, 11. Mai 2013 (CEST))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 19:29, 21. Sep. 2023 (CEST)