Diskussion:Homotopiegruppe

Die letzten beiden Abschnitte des Artikels sind komplett unverständlich, der Sinn der Abschnitte wird ebenfalls nicht klar. Die in der Einleitung erwähnte Anwendung in der Klassifikation topologischer Räume taucht im Artikel nicht mehr auf. --P. Birken 09:32, 6. Jun 2006 (CEST)

Der Abschnitt mit der langen exakten Sequenz enthält ja bereits ein Beispiel, das zeigt, dass man damit konkret $\pi _{3}(S^{2})$ ausrechnen kann. Den tieferen Sinn relativer Homotopie- oder Homologiegruppen habe ich noch nie wirklich durchschaut. Die Klassifikation taucht an der Stelle nochmal kurz auf, an der es heißt, dass homöomorphe Räume isomorphe Homotopiegruppen haben, die Umkehrung aber nicht automatisch richtig ist. Die Homotopiegruppen sind zwar nette Invarianten, aber für eine Klassifikation nicht ausreichend (das kann man auch kaum erwarten, sie sind zu stark an die reelle Struktur gebunden).--Gunther 11:35, 6. Jun 2006 (CEST)

Was machen wir dann mit dem letzten Abschnitt? "Man kann auch relative Homotopiegruppen definieren", ist irgendwie naja, ich koennte auch birkensche Homotopiegruppen definieren wenn mir danach waere ;-) Die Anwendung im vorletzten sehe ich jetzt, mit Bordmitteln bleibt der Artikel allerdings unverstaendlich. Nicht zuletzt deswegen, weil Faser (Mathematik) kein Artikel ist, sondern ein Redirect auf Urbild (Mathematik) ist. Ist eine Hopf-Faserung ein Spezialfall einer Serre-Faserung? --P. Birken 13:08, 6. Jun 2006 (CEST)

Wem höhere Homotopiegruppen begegnen, der kennt typischerweise auch schon relative Homologie, deshalb denke ich, dass man das Grundkonzept nicht allzu ausführlich erklären muss (es steht ja auch nicht da, was ein Raumpaar ist). "Faserung" ist ein eigenständiger Begriff, es geht um Abbildungen, die sich in bezug auf eine gewisse Eigenschafte wie ein Faserbündel oder auch einfach wie eine Projektion $F\times B\to B$ verhalten, eben die Hochhebungseigenschaft. Die Hopf-Faserung ist eine konkrete Abbildung $S^{3}\to S^{2}$, ich habe dazu gerade einen Stub geschrieben.--Gunther 13:54, 6. Jun 2006 (CEST)

Ah, kann man den zweiten Abschnitt so sehen, dass ich zu jeder Serre-Faserung ueber die exakte Sequenz manche topologische Raeume klassifizieren kann? Ist Totalraum E eine Fachvokabel?

Im ersten Abschnitt steht hinter der Definition der Summe "Die entsprechende Operation in der Darstellung durch Sphären ist die Summe zweier Homotopieklassen die Homotopieklasse derjenigen Abbildung, die man erhält, wenn man die Sphäre zunächst am Äquator entlang zusammen zieht und dann auf der oberen Sphäre f, auf der unteren g anwendet." Auch nach mehrmaligem Lesen kann ich diesem Satz keinen Sinn zuordnen. --P. Birken 14:11, 6. Jun 2006 (CEST)

Nein, die lange exakte Sequenz ist eher ein technisches Hilfsmittel, um Rückschlüsse auf noch unbekannte Gruppen zu ziehen (im konkreten Fall: man kennt $\pi _{k}(S^{1})$ und $\pi _{3}(S^{3})$ und kann daraus erschließen, wie $\pi _{3}(S^{2})$ aussieht).

Ja, "Totalraum" ist Terminologie im Kontext von Faserbündeln, genauso wie "Basis" und zu einem gewissen Grad auch "Faser".

Der Klassifikationsaspekt gehört thematisch in den Kontext der Poincaré-Vermutung: Sind Mannigfaltigkeiten mit isomorphen Homotopiegruppen auch homöomorph/diffeomorph?

Ist der wirre Satz ohne die ersten drei Wörter schon verständlich?--Gunther 14:50, 6. Jun 2006 (CEST)

Ja danke, jetzt ist der Sinn klar. Was ich wirklich noch vermisse, ist eine Einordnung der exakten Sequenzen im Artikel. Was ist die Relevanz dieses Abschnitts bezogen auf den kompletten Begriff? Oder anders gesagt: Die Definition haengt fuer mich etwas im luftleeren Raum. Mag aber auch sein, dass der Artikel nicht wirklich Numerikertauglich werden kann. Auf jedenfall danke fuer den neuen Stub :-) --P. Birken 16:01, 6. Jun 2006 (CEST)

Mir ist nicht ganz klar, was Du damit meinst. Exakte Sequenzen sind eines der wichtigsten Hilfsmittel der algebraischen Topologie, und dass es diese exakte Sequenz gibt, sagt viel über die Funktoren $\pi _{n}$ aus, Parallelbeispiel: Wenn man zwei Folgen von Funktoren $F_{n},G_{n}$ von Ab (= abelsche Gruppen) nach Ab hat mit derartigen langen exakten Sequenzen und darüberhinaus $F_{n}(\mathbb {Z} )=0$ und $G_{n}(\mathbb {Z} )=0$ gilt, dann folgt aus $F_{0}=G_{0}$, dass $F_{n}=G_{n}$ für alle $n$ gilt, d.h. die Folge der Funktoren ist schon durch das erste Glied vollständig bestimmt; ganz so extrem ist es hier allerdings nicht.--Gunther 17:16, 6. Jun 2006 (CEST)

Mir fehlen einfach die inhaltlichen Klammern: Zur Zeit hat der Artikel eine Einleitung und drei Abschnitte. Zusammenhaenge zwischen diesen Abschnitten werden nicht erklaert. Das meine ich mit Einordnung und das macht ihn in meinen Augen auch so unverstaendlich. --P. Birken 17:26, 6. Jun 2006 (CEST)

Jetzt sind es fünf Abschnitte, ansonsten hat sich noch nichts Wesentliches verändert.--Gunther 01:24, 7. Jun 2006 (CEST)

Naja, ist trotzdem irgendwie runder geworden, ich habe den Unverstaendlich-Baustein mal rausgenommen. Gibt es noch einen Artikel, den man bezueglich der relativen Homotopiegruppen sinnvoll verlinken koennte? --P. Birken 11:17, 7. Jun 2006 (CEST)

Vielleicht hat da ja jemand eine andere Meinung zu, aber ich fand gerade die Notation (I^n, I^n punkt) -> (X,b) in der alternativen Definition der Gruppen verwirrend, da mit dem Punkt haeufig auch der Innere Kern einer Menge bezeichnet wird, hier aber der Rand auf b abgebildet werden soll. Schlage zum Beispiel delta(I^n) vor. Wenn das aber in der Literatur so rum verbreitet ist, dann ok. -- 134.76.83.179 12:57, 22. Nov. 2010 (CET)