Hopf-Faserung

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Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:

Beschreibung der Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man erhält sie wie folgt: Zuerst wird die als Einheitssphäre in den eingebettet. Durch werden Paare komplexer Zahlen auf ihren Quotienten in abgebildet. Danach bildet man den Bildpunkt mit der Inversen Stereografische Projektion bzgl. des Nordpoles auf die ab. Um die Abbildung konkret in Formeln anzugeben, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Mit reellen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung

mit

bildet die 3-Sphäre auf die 2-Sphäre ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

Mit komplexen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge

des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als riemannsche Zahlenkugel. Dann ist die Hopf-Abbildung durch

gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als projektive Gerade auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung homogener Koordinaten auch als

schreiben.

Mit Lie-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 3-Sphäre ist diffeomorph zur Lie-Gruppe Spin(3), die als Überlagerung der Drehgruppe SO(3) auf der 2-Sphäre operiert. Durch diese Operation erhält man Identifikationen

.

Beispiel aus der Quantenphysik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als natürliche Anschauung der Hopf-Faserung lassen sich Quantenzustände nicht relativistischer Elektronen auf der Einheitssphäre darstellen.

Hierbei ist der Zustandsvektor: mit gegeben. Ferner sei die Gestalt der Einheitssphäre des 2-dimensionalen Hilbertraums

Aus dem Skalarprodukt des Quantenzustands

folgt

Dieses entspricht der 3-Sphäre.

Zwei Quantenzustände sind äquivalent wenn es eine komplexe Zahl bzw. ein Repräsentant der Unitäre Gruppe gibt, welcher die Forderung erfüllt. Betrachtet man die gesamte Vereinigungsmenge der Äquivalenzklasse

auf der Sphäre

so operiert die Gruppe auf der Einheitssphäre. Die Mengen der werden auch -Faser genannt. Dargestellt wird diese Menge der -Faser wie folgt

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann analog auch mit Quaternionen oder mit Cayley-Zahlen durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen

bzw. ,

die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heinz Hopf gab diese Abbildung 1931 in seiner Arbeit Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche an und zeigte, dass sie nicht nullhomotop ist (genauer: dass ihre Hopf-Invariante gleich 1 ist).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
  • Eberhardt Zeidler: Quantum Field theory I - Basics in Mathematics and Physics. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-34762-3, S.269ff