Diskussion:Projektive Hierarchie

Kontinuum

Was meinst du mit dem Kontinuum? Die reellen Zahlen ja anscheinend nicht, aber alle polnischen Räume, die nicht die Kardinalität des Kontinuums besitzen, sind uninteressant. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 17:49, 30. Nov. 2012 (CET)

Ich habe das entsprechend umformuliert. Eigentlich meinte ich R oder [0,1], aber ich denke, so ist es besser. Danke, --FerdiBf (Diskussion) 18:22, 30. Nov. 2012 (CET)

Bezeichnung

Weißt du eigentlich zufällig, woher diese Bezeichnungen $\Sigma _{n}^{0}$ bzw. $\Sigma _{n}^{1}$ kommen? --Chricho ¹ ² ³ 18:15, 30. Nov. 2012 (CET)

Kommt das aus der effektiven deskriptiven Mengenlehre? ($^{0}$ für Mengen, die über Prädikatenlogik erster Stufe definiert werden, $^{1}$ dann mit Prädikatenlogik zweiter Stufe?) --Chricho ¹ ² ³ 18:41, 30. Nov. 2012 (CET)

Ah, tatsächlich ist das wohl das Schema, mit Logik dritter Stufe hat man dann $\Sigma _{n}^{2}$-Mengen ([1]), klärt aber nicht, ob die Terminologie jetzt von da kommt, oder aus der klassischen deskriptiven Mengenlehre. --Chricho ¹ ² ³ 18:50, 30. Nov. 2012 (CET)

Laut Jech (Historical Notes zu Kapitel 11) gehen diese Schreibweisen auf Addison (1959) zurück, der damit eine Analogie zu entsprechenden Hierarchien logischer Prädikate ausdrückte. Dort definiert man ein Prädikat als $\Delta _{0}$, wenn es nur beschränkte Quantoren enthält. Ausdrücke der Form $\exists x\varphi$ mit $\varphi \in \Delta _{0}$ gehören dann zu $\Sigma _{1}$, Ausdrücke der Form $\forall x\varphi$ mit $\varphi \in \Delta _{0}$ zu $\Pi _{1}$. Das kann man dann iterieren. Wichtig ist der Satz über die Absolutheit von $\Delta _{n}$-Prädikaten, aber das verdient einen eigenen Artikel.--FerdiBf (Diskussion) 18:57, 30. Nov. 2012 (CET)

Ok, dann wurde die Notation wohl tatsächlich aus der effektiven deskr. Mengenl. importiert (und nicht umgekehrt). Den Artikel arithmetische Hierarchie gibt es ja auch schon. --Chricho ¹ ² ³ 18:59, 30. Nov. 2012 (CET)