Diskussion:Wavelet

• on Wavelets und Transformationen: Was soll hier die Interpretation als Wahrscheinlichkeitsdichte? Abgesehen davon, dass sie ziemlich vom Himmel fällt. (nicht signierter Beitrag von 77.176.74.76 (Diskussion) 14:58, 12. Aug. 2015 (CEST))

• Eine Funktion kann immer nur Basisfunktion eines eindimensionalen Raumes sein. Ein Wavelet ist die erzeugende Funktion der Wavelet-Transformation (WT). Im Falle der diskreten WT bilden bestimmte Verschiebungen und Stauchungen der Waveletfunktion eine topologische Basis oder zumindest ein topologisches lineares Erzeugendensystem des $L^{2}$.

• Weiterhin ist sicher nicht der Definitionsbereich, sondern der Traeger gemeint. In einer allgemeinen Beschreibung ist das aber falsch. Funktion und Fouriertransformierte sind gegen (+-)Unendlich schnell abfallend, im guenstigsten Fall hat eine von beiden einen beschraenkten Traeger, die gebraeuchlichen FIR-Wavelets haben ihn im Raum, die Meyer-Wavelets in der Frequenz.

• Die deutsche Bezeichnung fuer MRA ist Multiskalenanalyse, zumindest nach Maass & Co.

• Was ist die Dimensionalitaet einer Funktion? Kann eine Fkt. mehrere davon haben? Gemeint ist eher, dass man fuer beliebige Dimensionen des Raumes Waveletbasen definieren kann.

• Alle Wavelets sind fraktal, d.h. deren Skalierungsfunktion in der MRA. Das sieht man nur z.B. den Splines nicht unbedingt an. Betrachtet man Punkte $(x,y(x))$, wobei $x\in [0,1)$ und $y(x)=(f(x-N),...,f(x+N))$, so dass der Traeger von $f$ in $[-N,N+1]$ enthalten ist, so gilt $y(x/2)=A_{0}.y(x)$ und $y((1+x)/2)=A_{1}.y(x)$, was analog der Konstruktionsvorschrift des fraktalen Bansley-Farns interpretiert werden kann.

• Der Zusammenhang zwischen Filter und Wavelet ist nicht ganz so einfach wie dargestellt. Mache Leute identifizieren sogar lineare Filter mit ihrer Impulsantwort, welche eine Zahlenfolge ist. Ein Wavelet ist, auch hier, eine Funktion.

• Ein Tiefpass loescht hohe Frequenzen und erhaelt kleine, ein Hochpass loescht kleine Frequenzen und erhaelt hohe, ein Bandpass loescht hohe und niedrige Frequenzen und erhaelt die mittleren. Siehe z.B. hier: http://www.ces.ka.bw.schule.de/lehrer/culm/laborgeraete/filter/grundbegriffe.htm

• Die praktische WT besteht in einer Projektion auf einen verschiebungsinvarianten Teilraum, was sich gerade noch so als Tiefpass auffassen laesst und aus einer Funktion eine Zahlenfolge macht. Diese wird nachfolgend mit Tiefpass- und Bandpassfiltern bearbeitet und nach jedem Schritt heruntergetaktet.

• Eine Nyquist-Frequenz im eigentlichen Sinne, d.h. als oberste auftretende Frequenz, haben WT i.A. nicht. Man kann wohl sowas wie eine effektive N-Frequenz definieren, das ist wohl auch mit der Unschaerfe gemeint.

• PR und das, was als Rekonstruktion beschrieben werden soll, sind das gleiche. Diese Untertaktung (Sub- oder Downsampling) steckt schon in der WT drin. Also: 1) Analyse: Zahlenfolge wird einmal mit Tiefpass- und einmal mit Bandpassfilter bearbeitet, beide sich ergebenden Zahlenfolgen werden heruntergetaktet, ueblicherweise mit Faktor 2. 2) Synthese/Rekonstruktion: Beide Zahlenfolgen werden hochgetaktet durch Einschieben von Nullen, dann wieder jeweils mit einem Filter bearbeitet und addiert. Kommt dabei die urspruengliche Folge heraus, so hat dieses Paar von Analyse- und Synthesefilterbaenken die Eigenschaft der perfekten Wiederherstellung (reconstruction). Dies insgesamt bedeutet, dass in keiner Stufe der Bearbeitung Information verlorengeht. Letzteres ist in der verlustfreien Bildkompression wichtig, in anderen Anwendungen weniger.

• Was unter Rekonstruktion angedeutet scheint ist das, was man unter Orthogonalitaet versteht. Die Filter in der Synthese ergeben sich bis auf Zeitumkehr und Vorzeichenaenderungen aus denen in der Analyse. Stellt man die Analyse-WT als Matrix dar, so ist diese Orthogonal, und ihre Transponierte ist die Matrix der Synthese-WT. Unter anderem hat dies den Effekt, dass das Weglassen kleiner Koeffizienten in der Transformierten auch in der rekursiven Anwendung nur kleine Anderungen im rekonstruierrten Signal zur Folge hat, eine wichtige Eigenschaft fuer eine kontrollierte verlustbehaftete Kompression.

• Der im naechsten Schritt beschriebene Kaskaden-Algorithmus erzeugt, zumindest in der gelaeufigen Form, die Skalierungsfunktion und ist zu dem oben angedeuteten fraktalen Algorithmus aequivalent, d.h. erzeugt das gleiche Bild. Die Gestalt des Wavelets laesst sich daraus ableiten. Es koennte auf Wim Sweldens Cascade-Applet verwiesen werden. http://cm.bell-labs.com/who/wim/cascade/

Unter diesen Punkten den Artikel zu editieren wuerde heissen, ihn komplett neu zu schreiben.

Lutz Lehmann, HU Berlin

Sei mutig! Auch der Artikel Wavelet-Transformation braucht eine Ueberarbeitung und ein vernuenftiges Zusammenspiel mit diesem hier. Viele Gruesse --DaTroll 14:05, 29. Jul 2004 (CEST)

Schwierig

Hi,

ich finde den Artikel auch mit vorhandenem Mathegrundwissen leider nicht verständlich.

Danke, --Abdull 23:35, 2. Nov 2004 (CET)

Das finde ich auch! Den erhofften Überblick, worum es sich dabei eigentlich handelt, habe ich hier nicht gefunden. -- Herbert Lehner 11:21, 23. Jan. 2007 (CET)

Ja, das finde ich auch. Der Artikel ist Müll --143.205.215.10 10:34, 21. Jun. 2007 (CEST)

Das ist ja endlich mal ein zielführend hilfreicher Kommentar.--LutzL 10:47, 7. Nov. 2007 (CET)

Haar und DCT

Die Behauptung, eine Diskrete Kosinustransformation entspricht der Haartransformation, ist komplett unsinnig. Bei der einen wird nach {cos(kx)]_k entwickelt, bei der anderen nach verschobenen und gestauchten Versionen von chi_[-1,0](x)-chi_(0,1](x) entwickelt, wobei chi_M(x) die charakteristische Funktion der Menge M ist. [Philipp Brauer, 6.11.2007, 22.15, CEST]. Auch in rein diskreten Algorithmen ist Kosinustransformation nicht das gleiche wie Haartransformation.

Eine Stufe oder Filterbank der Haar-DWT ist exakt die DCT der Blocklänge 2. Varianten, die Haar-DWT auf längere Blocklängen zu verallgemeinern, schließen die DCT ebendieser Blocklänge genauso ein wie Hadamard-Walsh-Matrizen oder andere, deren erste Zeile konstant ist.--LutzL 10:47, 7. Nov. 2007 (CET)

Versteh ich nicht wirklich, was meint der Autor mit "entspricht". Eine Referenz wäre nicht schlecht. Bei einer Filterbank hat man Tiefpass- und Hochpassfilter, daß die des Haarwavelet den Basisfunktionen einer DCT mit Blocklänge 2 entsprechen ist ja ok. Aber wie sieht, daß für größere Blocklängen aus (meint der Autor mit "entspricht" vielleicht, daß der DC koeffizient der DCT gleich dem Tiefpasskoeffizienten einer speziellen Wavelettransformation ist)? Insgesamt halte ich diese Information für bescheiden relevant und eher verwirrend.

Eine DCT der Länge 8, wie sie in JPEG verwendet wird, entspricht einer Filterbank mit einem Lowpass-Filter und 7 Band- bzw. Highpass-Filtern, in Verbindung mit einem Faktor-8-Subsampling. In einigen Varianten der JPEG-Kompression wird das reduzierte Lowpass-Signal wieder der DCT unterworfen, was mehrfach wiederholt eine Verallgemeinerung der Haar-DWT (in 2D) ist. Die Relevanz liegt darin, dass die DCT-Variante in vielen Klassen von DWT als "unglattestes", aber auch einfachstes Element enthalten ist. Man kann also fast immer eine DWT (semi-)direkt mit JPEG vergleichen, ohne das Äpfel-Birnen-Problem zu haben.--LutzL 11:31, 11. Jan. 2008 (CET)

Shearlets

Die könnte man auch noch erwähnen, evt. in einem eigenen Artikel.

Integral 0 => Form bekannt?

Im Artikel steht:

Das Integral einer Wavelet-Funktion ist immer 0, daher nimmt in der Regel die Waveletfunktion die Form von nach außen hin auslaufenden (kleiner werdenden) Wellen (also "Wellchen" = Ondelettes = Wavelets) an.

In wie fern soll man denn vom Integral auf die Form schließen können? Dieser Satz ist unsinnig und sollte meiner Meinung nach entfernt werden. (nicht signierter Beitrag von 88.130.162.190 (Diskussion) 20:38, 15. Aug. 2010 (CEST))

Der Satz "Das Integral einer Wavelet-Funktion ist immer 0... usw" aus dem Text ist in dieser Form nicht nur ungenau sondern vor allem auch falsch, weil dies ein Wavelet / eine Wavelet-Funktion so leider nicht korrekt charakterisiert. Es gilt wohl für bestimmte Gruppen von Wavelets mit bestimmten Symmetrieeigenschaften des Funktionsverlaufes, nicht aber allgemein. Die in dem Artikel korrekt wiedergegebenen Funktionsgraphen von einigen Waveletfunktionen zeigen dies bereits offensichtlich, ohne nachrechnen zu müssen.(!) Ein Gegenbeispiel für diese Beschreibung aus dem Artikel ist das Integral einer einfachen Wavelet-Funktion, des Mexican-Hut-Wavelets (zweite Ableitung der Gaußfunktion nach der Variablen, z.B. nach x), diese Funktion hat diese besagte Eigenschaft nicht und es ist dennoch eine wichtige, allgemein bekannte Wavelet-Funktion.(!) Ich schlage vor dies mal nachzurechnen und dann ggf. hier zu verbessern. (?) Richtig ist aber, dass alle Wavelets oder Wavelet-Funktionen für beliebig große und beliebig kleine Stellenwerte der Variablen ( z.B. x ) verschwinden, die Funktionen also für beliebig große und beliebig kleine x ( oder einer anderen Variablen ) gegen Null konvergieren. Zutreffender als der Hinweis im Text ist, dass eine (im gesamten Bereich der reellen Zahlen stetige und differenzierbare!) Waveletfunktion grundsätzlich immer quadratintegrabel ist, womit diese sich von den Basisfunktion z.B. der Fouriertransformation (sin und cos) unterscheidet. Dieser Hinweis auf diese Eigenschaft fehlt in diesem Artikel hier leider vollkommen, macht dieses jedoch eine wesentliche Eigenschaft einer "gefensterten Fouriertransformation" bzw. Wavelettransformation im Unterschied zu einer "normalen" Fouriertransformation aus. Nachlesbar ist dies alles in Standard-Werken, wie z.B. "Taschenbuch der Mathematischer Formeln und moderner Verfahren" von Horst Stöcker u.ä. auf die ich hiermit verweise. :) J.F. 14.4.2015. (nicht signierter Beitrag von Physik der kleinen Wellen (Diskussion | Beiträge) 02:50, 14. Apr. 2015 (CEST))

Heisenberg zitieren

ist irreführend: in der Physik ist die Unschärfe durch eine meßbare absolute Konstante charakterisiert, hier ist die Auflösung skalierbar. (nicht signierter Beitrag von Joh.koenig (Diskussion | Beiträge) 14:41, 12. Dez. 2010 (CET))

Diese Bemerkung ist unverständlich. Auch in der Fourier-Analyse ist die Unschärfe zwischen Frequenz und Ort durch eine absolute Konstante gegeben. Diese hängt nur von der Verteilung der Konstanten in der Definition der Fourier-Transformation ab.--LutzL 09:19, 13. Dez. 2010 (CET)

Toter Link

Der Wolfram.com-Link ist tot und ich weiß nicht genau, welche Seite gemeint war, um dies zu reparieren. --178.26.56.189 01:06, 31. Jul. 2012 (CEST)

"Fundamentals of Wavelets" ist ein Buch von Goswami und Chan, hatte Wolfram eine digitale Version auf ihrem Dokumentenserver? In Mathematica 8 wurde die Wavelet-Toolbox in den Signalprocessing-Kern integriert, gleichzeitig der "Wavelet Explorer" als veraltet deklariert oder als "Wavelet Analysis" in die allgemeine Dokumentation eingearbeitet. Wenn überhaupt, dann wäre letzteres zu verlinken, aber das ist eher eine spärliche Dokumentation von Mathematica-Funktionen mit einigen Beispielbildern als eine "Umfangreiche Beschreibung des Themas". Gleichermaßen ratlos. Mathworld ist eher eine Literatursammlung, als solche fehlt die Seite von Amara Graps,...--LutzL (Diskussion) 11:15, 31. Jul. 2012 (CEST)

Der Link funzt.--Mideal (Diskussion) 12:25, 22. Mär. 2017 (CET)

Wavelet aus ondulette?

TF!?--Mideal (Diskussion) 12:20, 22. Mär. 2017 (CET)

Fehlende Definition

Dem Artikel fehlt es gänzlich an einer sauberen Definition, oder was soll bitte "Mit dem Begriff Wavelet wird in der Mathematik eine Gruppe von Funktionen mit wellenartigem Charakter bezeichnet." bedeuten? Was soll denn "wellenartig" überhaupt sein? Was soll denn dann der Unterschied zwischen "wellenartigen Funktionen" und "Wellen" sein? Ist mit "Gruppe" der mathematische Begriff "Gruppe" gemeint (wohl kaum)? Was ist denn der Definitions- und Wertebereich von Wavelets? Woran kann ich erkennen, ob eine gegebene Funktion ein Wavelet ist? Soll heißen: Der erste Absatz ist alles mögliche, aber keine Definition (noch nicht einmal eine unsaubere, die man ja evtl. noch akzeptieren kann), und es wird nicht einmal ansatzweise klar, worum es bei Wavelets überhaupt geht. (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:4F4:4FE0:98E1:3BCD:B494:18E8 (Diskussion) 22:23, 1. Jun. 2021 (CEST))