Dritter Lemoinescher Kreis

Schnittpunkte $P_{a}$,$P_{b}$,$P_{c}$, $Q_{a}$,$Q_{a}$ und $Q_{c}$ liegen auf dem dritten Lemoine-Kreis mit Mittelpunkt $M$ (rot). $K$ ist der Lemoine-Punkt und $O$ der Mittelpunkt des Umkreises von $\triangle ABC$.

Der dritte Lemoinesche Kreis eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Wie der erste und zweite Lemoinesche Kreis ist er ein Spezialfall eines Tucker-Kreises. Er ist nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine (1840–1912) benannt, wurde aber erst 2002 von Jean-Pierre Ehrmann entdeckt.

Definition

Betrachtet man bei einem Dreieck $\triangle ABC$ mit Lemoinepunkt $K$ die Umkreise der Teildreiecke $\triangle ABK$, $\triangle BCK$ und $\triangle ACK$, dann schneiden sie die verlängerten Dreiecksseiten von $\triangle ABC$ in je zwei weiteren Punkten. Das heißt, der Umkreis von $\triangle ABK$ schneidet $AC$ in $Q_{b}$ und $BC$ in $P_{a}$, der Umkreis von $\triangle BCK$ schneidet $AB$ in $Q_{c}$ und $AC$ in $P_{b}$ und der der Umkreis von $\triangle ACK$ schneidet $AB$ in $P_{c}$ und $BC$ in $Q_{a}$. Diese sechs Schnittpunkte $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}$ haben die Eigenschaft auf einem gemeinsamen Kreis zu liegen, dieser Kreis wird als dritter Lemoine-Kreis bezeichnet.

Eigenschaften

Der Mittelpunkt $M$ des dritten Lemoine-Kreises liegt auf der Verbindungsgeraden zwischen dem Lemoine-Punkt $K$ und dem Umkreismittelpunkt $O$ des Dreiecks $\triangle ABC$, zudem ist der Abstand zwischen Umkreismittelpunkt $O$ und Lemoinepunkt $K$ doppelt so groß wie der Abstand zwischen Mittelpunkt $M$ und Lemoinepunkt$K$.

$|OK|=2\cdot |MK|$

Verwendet man orientierte Abstände oder Vektoren, so gilt:

${\vec {KM}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {KO}}$

Der dritte Lemoine-Kreis ist ein Tucker-Kreis.

Literatur

• Darij Grinberg: Ehrmann's Third Lemoine Circle. In: Journal of Classical Geometry 1, 2012, S. 40–52.
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Lemoinesche Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien