Extremale Graphentheorie

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Die extremale Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht, welche Graphen einer gegebenen Klasse (wie der Klasse der Graphen ohne Hamiltonkreis) einen bestimmten Graphenparameter (wie die maximale Anzahl von Kanten oder die Kantendichte) maximieren oder minimieren.

Ein Ergebnis der extremalen Graphentheorie ist beispielsweise, dass Graphen mit Knoten, die keinen Kreis der Länge 3 enthalten, höchstens Kanten besitzen. Das ist ein Spezialfall des Satzes von Pál Turán (1941),[1] der die extremale Graphentheorie begründete:

Satz von Turán: Ein Graph mit n Knoten ohne p-Clique (vollständiger Untergraph mit p Knoten), , hat maximal Kanten.[2]

Definiert man zu einem Graphen die Zahl als die maximale Kantenzahl, die ein Graph mit Knoten und ohne einen zu isomorphen Untergraphen haben kann, so lässt sich diese Aussage zu

umformulieren, wobei der vollständige Graph mit Knoten ist. Bezeichnet man mit den Kreisgraphen mit Knoten, so erhält man als weiteres Beispiel

erweitert um einen Knoten und eine Kante
.

Der Graph, der aus durch Hinzunahme eines weiteren Knotens und einer Kante entsteht, hat keinen zu isomorphen Untergraphen und Kanten (siehe nebenstehende Zeichnung für ). Die Hinzunahme einer weiteren Kante führt offenbar zu einem zu isomorphen Untergraphen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Turán: On an extremal problem in graph theory. In: Math.Fiz.Lapok. Bd. 48, 1941, S. 436.
  2. Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from the Book. Springer. In Kapitel 32 werden fünf Beweise gegeben, unter anderem von Turán und Paul Erdős.