Fast alle

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Dieser Artikel behandelt den Begriff fast alle in der Bedeutung alle bis auf endlich viele. Für den Gebrauch in der Maß- und Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie siehe fast überall bzw. fast sicher.

Fast alle ist in der Mathematik eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele, meist im Zusammenhang mit abzählbaren Grundmengen. Man sagt, eine Eigenschaft \mathcal{E} werde von fast allen Elementen einer unendlichen Menge erfüllt, wenn nur endlich viele Elemente \mathcal{E} nicht erfüllen. Teilmengen, die fast alle Elemente einer Menge enthalten, heißen auch koendlich oder kofinit, weil ihr Komplement endlich ist.

Spezialisierung auf Folgen[Bearbeiten]

Die Eigenschaft \mathcal{E} trifft auf fast alle Glieder einer Folge zu, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.

Dies lässt sich auch so charakterisieren: Es gibt ein Folgenglied, von dem an die Eigenschaft für alle nachfolgenden Glieder gilt.
Formal: \exists N\in\mathbb{N}\colon \forall n>N\colon \mathcal{E}(a_n).

Dies darf nicht verwechselt werden mit der Forderung \forall N\in\mathbb{N}\colon \exists n>N\colon \mathcal{E}(a_n), die bedeutet, dass \mathcal{E} für unendlich viele Folgenglieder gilt. Dies ist eine „echt schwächere“ Forderung, denn sie schließt nicht aus, dass \mathcal{E} für unendlich viele Folgenglieder auch nicht gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten]

  1. Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare natürliche Zahlen, denn zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl N kann man eine größere finden, die durch 3 teilbar ist, denn eine der Zahlen N+1, N+2 oder N+3 muss diese Eigenschaft haben. Genauso gibt es aber unendlich viele nicht durch 3 teilbare Zahlen.
    Der Begriff fast alle greift hier nicht.
  2. Fast alle der durch drei teilbaren positiven Zahlen sind größer als 15 Billionen. Denn: Es gibt endlich viele (nämlich 5 Billionen) durch drei teilbare Zahlen, die nicht größer als 15 Billionen sind; die unendlich vielen anderen durch drei teilbaren Zahlen sind aber größer als 15 Billionen.
  3. Eine reelle Zahlenfolge (a_n), n \in \mathbb{N}:
    • hat einen Häufungspunkt b, wenn für jedes ε>0 unendlich viele Folgenglieder im Intervall (b-ε,b+ε) liegen.
      Es können aber auch unendlich viele Folgenglieder außerhalb dieses Intervalls liegen; es kann sogar weitere Häufungspunkte geben.
    • hat den Grenzwert a, wenn für jedes ε>0 fast alle Folgenglieder im Intervall (a-ε,a+ε) liegen – also nur endlich viele außerhalb.
  4. Es gibt erheblich mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen (nämlich überabzählbar viele). Dennoch kann man nicht sagen, dass fast alle reellen Zahlen nicht ganz sind, da es ja unendlich viele ganze reelle Zahlen gibt (wenn auch „nur“ abzählbar viele).
  5. Ist I eine beliebige (Index-)Menge und hat man zu jedem Index i\in I eine (z. B. reelle) Zahl a_i, so kann man ohne Rückgriff auf einen Konvergenzbegriff die Summe aller a_i nur sinnvoll definieren, wenn fast alle a_i null sind, nämlich als Summe der endlich vielen von 0 verschiedenen Zahlen.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Sei F ein Mengenfilter auf einer Menge X. Eine Eigenschaft \mathcal E gilt F-fast überall auf X (oder für F-fast alle x in X), wenn die Menge jener x in X, die die Eigenschaft \mathcal E erfüllen, im Filter F liegt.

Der oben erklärte Begriff fast alle ist genau der Begriff F-fast alle für den Spezialfall des aus allen kofiniten Teilmengen von X bestehenden Fréchet-Filters.

In der Maßtheorie wird oft ein anderer Spezialfall betrachtet; wenn man den Filter F jener Mengen zugrunde legt, deren Komplement Maß 0 hat, so bedeutet F-fast alle dasselbe wie fast überall.