Fast überall

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Die Sprechweise, dass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, und ist eine Abschwächung dafür, dass die Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Maßraum und eine Eigenschaft , die für alle Elemente von sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft fast überall (oder -fast überall oder für -fast alle Elemente) gilt, wenn es eine -Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement der Nullmenge die Eigenschaft haben.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtig ist, dass die Eigenschaft wirklich für alle , also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lebesgue-Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum , das heißt das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

,

so konvergiert diese auf gegen 0, auf der Punktmenge ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie -fast überall gegen 0.

Die Dirichlet-Funktion

auf dem Einheitsintervall ist -fast überall gleich 0, denn .

Dirac-Maß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 (). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall ist eine -Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge -fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist -fast überall gleich 1, denn .

Die Wahl und Angabe des verwendeten Maßes ist also essentiell für die Verwendung der Sprechweise „fast überall“.

Fast sicher[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder -fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum und eine messbare Funktion .

Aus     folgt     fast überall.

Beweis: Wäre nicht fast überall, so wäre und es gäbe ein mit . Da , folgt , im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss fast überall sein.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]