Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

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Der Fixpunktsatz von Tarski und Knaster, benannt nach Bronisław Knaster und Alfred Tarski, ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Verbandstheorie.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein vollständiger Verband, monoton, und die Menge der Fixpunkte von in . Unter diesen Voraussetzungen ist und ebenfalls ein vollständiger Verband.

Beweisidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei die Supremum-Operation von , und die Infimum-Operation von .

Die folgenden Schritte zeigen, dass für beliebige Teilmengen von ein Infimum und ein Supremum in liefert.

  1. ist Fixpunkt von , und zwar der größte in . Somit ist dies das -Supremum von .
  2. Dual zu Schritt 1: ist Fixpunkt von , und zwar der kleinste in .
  3. Für beliebige Teilmengen , soll es ein -Supremum geben. Die Fälle und sind bereits in den Schritten 1 und 2 gezeigt. Betrachtet werden nun die anderen Fälle. Dazu wird ausgenutzt, dass mit wieder ein vollständiger Verband ist, und eine monotone Funktion ist, die nach Schritt 2 einen kleinsten Fixpunkt in hat. Dieser ist das -Supremum von . In Formeln: .
  4. Dual zu Schritt 3 wird gezeigt, dass beliebige Teilmengen von ein -Infimum haben.

Konsequenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine oft verwendete Konsequenz ist die der Existenz von kleinsten und größten Fixpunkten von bezüglich monotonen Funktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]