Gegenbauer-Polynom

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Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall [-1,1] mit der Gewichtungsfunktion (1−x2)α−1/2, mit α > −1/2. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form


C_n^{(\alpha)} (z) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{\Gamma(\alpha+n-m)}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},

für α≠0, andernfalls


C_n^{(0)} (z) = \sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},

Sie lassen sich auch durch eine Hypergeometrische Funktion 2F1 darstellen:

C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)

Der Wert für z=1 ist

C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

C_0^{(\alpha)}(z)	=	1
C_1^{(\alpha)}(z)	=	2\alpha z
C_2^{(\alpha)}(z)	=	-\alpha+2\alpha(1+\alpha)z^2
C_3^{(\alpha)}(z)	=	-2\alpha(1+\alpha)z+4/3\alpha(1+\alpha)(2+\alpha)z^3

Referenzen[Bearbeiten]