Geometrisches Programm

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Ein Geometrisches Programm ist ein spezielles Problem der mathematischen Optimierung, bei dem als Ziel- und Restriktionsfunktionen eine Verallgemeinerung von Polynomen zum Einsatz kommt. Insbesondere haben Geometrische Programme zwei Formen, von denen aber nur eine zur konvexen Optimierung zählt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Optimierungsproblem der Form

heißt ein Geometrisches Programm (in Posynomialform), wenn die Posynomialfunktionen sind und die Monomialfunktionen sind. Die Einschränkung ist hierbei stets implizit vorausgesetzt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Optimierungsproblem

ist ein Geometrisches Programm.

Konvexe Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Geometrisches Programm lässt sich durch elementare Substitutionen in ein konvexes Optimierungsproblem transformieren.

Dazu setzt man zuerst bzw. . Damit wird jede Monomialfunktion

transformiert zu

,

wobei und ist. Posynomialfunktionen lassen sich analog als Summe von Exponentialfunktionen von affinen Funktionen ausdrücken. Durch Anwenden dieser Transformation und anschließendes Logarithmieren erhält man dann das Optimierungsproblem

welches Geometrisches Programm in konvexer Form genannt wird. Es ist ein konvexes Optimierungsproblem. Wenn alle Funktionen Monomialfunktionen sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem linearen Optimierungsproblem.

Beispiel für die konvexe Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transformiert man das oben angeführte Geometrische Programm in Posynomialform in die Geometrische Form, so lautet es

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]