Polynom

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In der Mathematik ist ein Polynom („mehrnamig“, von griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“; diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklid [1]) eine (endliche) Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, die meist mit bezeichnet wird. Eine Übersicht über wichtige in unterschiedlichen Disziplinen der Mathematik und Physik betrachtete Polynome findet sich im Artikel Liste spezieller Polynome. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen werden Potenzreihen genannt.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem eines Polynoms als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion auch als ganzrationale Funktion bezeichnet (siehe auch rationale Funktion).

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms, Polynomglied, Absolutglied, Binom; sowie Nullstellenschranke, Cauchy-Regel, Newton-Regel, gerade und ungerade Potenz.

Graph einer Polynomfunktion 5. Grades

Polynome in der elementaren Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynom von Grad 0,
Polynom von Grad 1,
Polynom von Grad 2,
Polynom von Grad 3,
Polynom von Grad 4,

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion der Form

,

wobei als Definitionsbereich für die Variable jede beliebige -Algebra in Frage kommt, wenn der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen.

  • Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent bezeichnet, für den der Koeffizient des Monoms nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient (auch: führender Koeffizient). (Die Schreibweise für den Grad des Polynoms ist vom englischen Begriff degree abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise oder .)
  • Für das Nullpolynom, bei dem alle Null sind, wird der Grad als definiert.
  • Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert oder auch monisch.
  • Ist der Inhalt 1, dann heißt das Polynom primitiv.

Der Koeffizient heißt Absolutglied. wird als lineares Glied bezeichnet, als quadratisches Glied und als kubisches.

Einfaches Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch

ist eine Polynomfunktion dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3).

In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von ), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome des Grades

  • 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. ).
  • 1 werden lineare Funktionen oder genauer affin lineare Funktionen genannt (z. B. ).
  • 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. ).
  • 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. ).
  • 4 werden quartische Funktionen oder biquadratische Funktionen genannt (z. B. ).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der Polynome ist abgeschlossen unter Substitution, das heißt, man erhält wieder ein Polynom, wenn man für die Variable ein Polynom einsetzt. Ferner sind diese Funktionen leicht zu differenzieren und zu integrieren. Die Ableitung eines Polynoms
ist das Polynom
Eine Stammfunktion ist gegeben durch
  • Polynome wachsen als Linearkombinationen von Potenzen (für hinreichend große Werte der Variablen x) langsamer als jede exponentielle Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.
  • Reelle Polynome ungeraden Grades haben ganz als Wertemenge, d. h., sie sind surjektiv.
(Wenn man die x-Achse als Zeitachse interpretiert, ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von , schwanken evtl. ein bisschen (eine oder mehrere Nullstellen) und gehen dann Richtung , oder sie kommen umgekehrt von , schwanken evtl. etwas und gehen dann Richtung .)
  • Reelle Polynome geraden, positiven Grades haben einen Wertebereich von
    • bei positivem Leitkoeffizienten
    • bei negativem
(Wenn man die x-Achse als Zeitachse interpretiert, ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von , schwanken ein bisschen (lokale Maxima, evtl. Nullstellen) und gehen dann wieder Richtung , oder sie kommen von , schwanken ein bisschen (lokale Minima) und gehen dann wieder Richtung .)
  • Für den Grad von Polynomen gelten die Gradabschätzungen
und für reelle Polynome oder allgemein für Polynome über einem Integritätsring
Für allgemeinere Ringe gilt auch in der letzten Beziehung lediglich .
  • Mit dem Horner-Schema kann die Auswertung eines Polynoms an einer bestimmten Stelle effizient vorgenommen werden.

Nullstellen des Polynoms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln oder Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von bezeichnet, für die der Funktionswert null ist, d. h., die die Gleichung erfüllen. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad größer oder gleich 1 mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat es genau Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom eine doppelte Nullstelle bei . Jedes Polynom positiven Grades lässt sich daher in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.
  • Jede rationale Nullstelle eines normierten Polynoms (höchster Koeffizient ist 1) mit ganzzahligen Koeffizienten ist ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes, etwas allgemeiner gilt der Satz über rationale Nullstellen.
  • Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren.
  • Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Nullstellenschranken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle Nullstellenschranken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl heißt reelle Nullstellenschranke des reellen Polynoms , wenn alle reellen Nullstellen von im Intervall liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von , wenn alle reellen Nullstellen von kleiner oder gleich sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome , jedes Polynom kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge der echt negativen Koeffizienten von eine besondere Rolle, bezeichnet deren Anzahl.

  • ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
  • ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel),
  • ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Regel von Lagrange und Maclaurin), dabei bezeichnet den Betrag des betragsgrößten negativen Koeffizienten und den Exponenten des höchsten Gliedes mit negativem Koeffizienten;
  • Jedes , das die Ungleichung erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (das so definierte ist sogar eine Schranke für die komplexen Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch Satz von Gerschgorin)
    • und
    • .
Komplexe Nullstellenschranken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für komplexe Polynome sind als Pendant zu den reellen Nullstellenschranken Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene üblich, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen des Polynoms auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl heißt komplexe Nullstellenschranke des komplexen Polynoms , wenn alle Nullstellen von auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynome ist:

  • Jedes , das die Ungleichung erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius um den Nullpunkt, der genau komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem Satz von Rouché). Diese Ungleichung ist für immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index .
  • Im Fall ergibt sich die schon für reelle Polynome angegebene Schranke für den Betrag aller Nullstellen. Alle dort angegebenen direkten Berechnungen von gelten weiter.
  • Im Fall ergibt sich ein Kreis, der keine Nullstellen enthält. ist dann eine Schranke für alle Nullstellen des „reziproken“ Polynoms .

Lösungsformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.

Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und quartische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln, für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

  • Reziproke Polynome haben die Form
d. h. für den -ten Koeffizienten gilt ; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitution (bzw. ) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.
  • Binome haben die Form
Setzen wir als reell voraus, so sind die Lösungen Vielfache der komplexen -ten Einheitswurzeln:
,
wobei durchläuft.
  • Polynome, die nur gerade Potenzen von enthalten, haben die Form:
Die Lösung erfolgt durch die Substitution . Hat man eine Lösung für gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für abzuleiten sind:
und
  • Polynome, die nur ungerade Potenzen von enthalten, haben die Form:
Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch aus und behandelt es dann wie ein Polynom -ten Grades, welches nur gerade Potenzen von enthält.

Polynome in der linearen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome in der abstrakten Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Polynomring

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes . Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element . Damit enthält die Potenzen , und deren Linearkombinationen mit . Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

seiner Koeffizienten charakterisiert.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings durch die Menge der endlichen Folgen in konstruiert werden. Dazu wird auf eine Addition „“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also und , so ist

und

mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Variablen) über .

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge , so dass , etc, so kann jede Folge wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

Zusammenhang mit der analytischen Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl existiert, so dass für alle gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als . Dabei ist jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes ) und ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge . Man kann jedoch als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise der Restklassenring , so induzieren die Polynome

und

das Nullpolynom

beide die Nullabbildung , das heißt: für alle

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome in mehreren Unbestimmten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern

Die Größe heißt der Totalgrad eines Monoms . Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades[2] ist

Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei die Anzahl der vorkommenden Variablen und der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades bis , erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Variablen nicht ändert.

Auch die Polynome in den Unbestimmten über dem Ring bilden einen Polynomring, geschrieben als .

Formale Potenzreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form


Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a−i (mal) (Groß-) x hoch i“

Posynomialfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
  • Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
  • Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Polynom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. cf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1, München (Ehrenwirth-Verlag) 1980, S.187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung Binomische Formel: in Buch X seiner Elemente nennt Euklid eine zweigliedrige Summe ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomáton), aus zwei Namen (bestehend). Die Bezeichnung Polynom geht auf Vieta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.
  2. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.