Die gronwallsche Ungleichung ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Sie ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der sie im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.
Gegeben seien ein Intervall
sowie stetige Funktionen
und
. Weiter gelte die Integralungleichung
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4c012d36f78077c4c1a2e333e69a984016a5a5)
für alle
. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b065ffff1eef339e0c1f64caf55734ccfacb5a3)
für alle
.
Man beachte, dass die Funktion
in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für
.
Ist
monoton steigend so vereinfacht sich die Abschätzung zu
![{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)e^{\int _{a}^{t}\beta (s){\rm {d}}s}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a7aeff402ae1e5bd6eeeb3157f673410148c4)
Insbesondere im Fall konstanter Funktionen
und
lautet die gronwallsche Ungleichung
![{\displaystyle u(t)\leq A+\int _{a}^{t}ABe^{B(t-s)}{\rm {d}}s=Ae^{B(t-a)}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067323cdc6e403cf1f2c6df3301c97d039c30fa9)
Es sei
,
,
und
stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem
genau eine Lösung
.
Seien
,
,
,
und
stetig. Weiter gebe es Funktionen
derart, dass
![{\displaystyle \|F(x,y)\|\leq \alpha (x)+\beta (x)\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e65ce04e7ca57b387957d911fe53c881c2074d1)
für alle
. Dann ist jede Lösung
von
![{\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a398c99c60fd2a0e8f95bd1c4364f5383b2b2cd)
auf
beschränkt.
Es gilt
![{\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\|F(s,y(s))\|{\rm {d}}s\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\beta (s)\|y(s)\|{\rm {d}}s\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa98d152648d04bd12ea4070e1acd360be74f99)
Die gronwallsche Ungleichung impliziert
![{\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{x}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{x}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{s}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{s}^{x}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c559b4dd46f7362c174d8fa874498482d436ccfe)
und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:
![{\displaystyle \|y(x)\|\leq \|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (s){\rm {d}}s+\int _{a}^{b}\left(\|y_{0}\|+\int _{a}^{b}\alpha (\sigma ){\rm {d}}\sigma \right)\beta (s)e^{\int _{a}^{b}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a532cf60a79c7e0bda2e2575b43051d8e3dcd1a)