Hölder-Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Hölder-Raum (nach Otto Hölder) ist in der Mathematik ein Banachraum von Funktionen, der in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen eine Rolle spielt. Dort sind Hölder-Räume eine natürliche Wahl, um Existenztheorie betreiben zu können.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei . Der Hölder-Raum ist die Menge aller Funktionen mit , für die folgende Norm endlich ist:

.

Hier bezeichnet

die Supremumsnorm und

eine Halbnorm. Für schreibt man auch .

Der Hölder-Raum ist also der Raum der -mal stetig differenzierbaren, beschränkten Funktionen von nach , deren -ten partiellen Ableitungen Hölder-stetig zu einer Konstanten und ebenfalls beschränkt sind. Im Spezialfall spricht man meistens von Lipschitz-Stetigkeit.

Satz von Kellogg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und ein beschränktes Gebiet mit -Rand sowie ein streng elliptischer Operator in mit Koeffizienten in , d. h.

,

wobei in liegen und die Matrix die Elliptizitätsbedingung

für alle

mit einer von unabhängigen Konstanten erfüllt. Weiter sei die Funktion nichtpositiv sowie und . Dann besitzt die Gleichung

eine eindeutige klassische Lösung .

Da die obige Gleichung keine klassische Lösung besitzt, falls von lediglich Stetigkeit gefordert wird, ist die Kontrolle des Stetigkeitsmoduls von Relevanz für die Existenztheorie in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hölder-Räume sind eine Klasse von Funktionen, innerhalb derer klassische Existenztheorie betrieben werden kann.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43947-1.
  • D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 224, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.