Supremumsnorm

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Die Supremumsnorm der reellen Arkustangens-Funktion ist . Auch wenn die Funktion diesen Wert betragsmäßig nirgendwo annimmt, so bildet er dennoch die kleinste obere Schranke.

Die Supremumsnorm (auch Unendlich-Norm genannt) ist in der Mathematik eine Norm auf dem Funktionenraum der beschränkten Funktionen. Im einfachsten Fall einer reell- oder komplexwertigen beschränkten Funktion ist die Supremumsnorm das Supremum der Beträge der Funktionswerte. Allgemeiner betrachtet man Funktionen, deren Zielmenge ein normierter Raum ist, und die Supremumsnorm ist dann das Supremum der Normen der Funktionswerte. Für stetige Funktionen auf einer kompakten Menge ist die Maximumsnorm ein wichtiger Spezialfall der Supremumsnorm.

Die Supremumsnorm spielt insbesondere in der Funktionalanalysis beim Studium normierter Räume eine zentrale Rolle.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine nichtleere Menge und ein normierter Raum, dann bezeichnet den Funktionenraum der beschränkten Funktionen von nach . Eine Funktion bildet damit ein Element auf einen Vektor mit endlicher Norm ab. Die Supremumsnorm auf diesem Funktionenraum ist dann die Abbildung

mit

.

Die Supremumsnorm einer Funktion ist also das Supremum der Normen aller Funktionswerte und damit eine nichtnegative reelle Zahl. Hierbei ist es wichtig, dass die Funktion beschränkt ist, weil sonst das Supremum unendlich werden kann. Der Raum wird auch als bezeichnet.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Menge das offene Einheitsintervall und als Zielraum die Menge der reellen Zahlen mit der Betragsnorm , dann ist der Raum der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall und die Supremumsnorm ist durch

gegeben. So ist etwa die Supremumsnorm der linearen Funktion in diesem Intervall gleich . Die Funktion nimmt diesen Wert zwar innerhalb des Intervalls nicht an, kommt ihm jedoch beliebig nahe. Wählt man stattdessen das abgeschlossene Einheitsintervall , dann wird der Wert angenommen und die Supremumsnorm entspricht der Maximumsnorm.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Normaxiome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Supremumsnorm erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt für aus der Definitheit der Norm über

,

da, wenn das Supremum einer Menge nichtnegativer reeller oder komplexer Zahlen null ist, alle diese Zahlen null sein müssen. Die absolute Homogenität folgt für reelles oder komplexes aus der absoluten Homogenität der Norm über

.

Die Subadditivität (oder Dreiecksungleichung) folgt für aus der Subadditivität der Norm über

,

wobei zudem genutzt wurde, dass das Supremum der Summe zweier Funktionen durch die Summe der Suprema beschränkt ist, was durch punktweise Betrachtung der Funktionswerte ersichtlich ist.[1]

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist der Bildraum vollständig, also ein Banachraum, so ist es auch der gesamte Funktionenraum .
  • Ist nicht endlich, so ist nicht jede abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von automatisch kompakt.
  • Ist nicht endlich, so ist nicht zu allen Normen auf äquivalent.
  • Die Supremumsnorm induziert auf einem Raum beschränkter Funktionen gerade die Topologie der gleichmäßige Konvergenz.
  • Ist der Zielraum oder , dann lassen sich Funktionen in nicht nur punktweise addieren, sondern auch multiplizieren. Die Supremumsnorm ist dann submultiplikativ, das heißt . Der Raum wird mit der punktweisen Multiplikation zu einer kommutativen Banachalgebra. Im Falle ist diese sogar eine C*-Algebra.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 3.