Hölder-Stetigkeit

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Die Hölder-Stetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei offen und . Eine Abbildung heißt Hölder-stetig zum Exponenten genau dann, wenn eine positive reelle Zahl existiert, so dass für alle gilt:

.

Allgemeiner heißt eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen und Hölder-stetig mit Exponent und Konstante , falls für alle

gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für ergibt sich die Lipschitz-Stetigkeit.
  • Jede Hölder-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes etwa . Dann folgt aus wie gewünscht .
  • Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Sei eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall gemäß

    definierte Funktion ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch Hölder-stetig, dann gäbe es Konstanten und mit für alle , also insbesondere

    laut Regel von L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002