Hölderstetigkeit

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Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei offen und . Eine Abbildung heißt hölderstetig zum Exponenten genau dann, wenn eine positive reelle Zahl existiert, so dass für alle gilt:

.

Allgemeiner heißt eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen und hölderstetig mit Exponent und Konstante , falls für alle

gilt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist die Funktion mit hölderstetig zum Exponenten mit Konstante , denn für ergibt sich , also .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Definition ergibt im Spezialfall die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
  • Hölderexponenten außerhalb von werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von erhielte man so beschränkte aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
  • Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes etwa . Dann folgt aus wie gewünscht .
  • Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall gemäß

    definierte Funktion ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten und mit für alle , also insbesondere

    laut Regel von de l’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2002.