Gleichmäßige Stetigkeit

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Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Teilmenge von , kurz .

Eine Abbildung heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

.

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass nur von und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf ).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte die Funktion

mit :

Quadratic-function-uniform-continuity.svg

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte mit einem Abstand kleiner als wählt, desto größer wird der Abstand der beiden Funktionswerte. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

mit

die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien zwei metrische Räume. Eine Abbildung heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

.

Verallgemeinerung: uniforme Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion zwischen zwei uniformen Räumen und gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unmittelbar aus der Definition ergibt sich, dass jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig ist. Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind. Unter einer zusätzlichen Annahme fallen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit wiederum zusammen. Der Satz von Heine besagt nämlich: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist eine Cauchy-Folge im Raum und ist gleichmäßig stetig, so ist auch eine Cauchy-Folge in . Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel und zeigt.

Unmittelbar daraus, dass Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet, folgt nun: Ist gleichmäßig stetig auf einer Menge , dann ist stetig fortsetzbar auf den Abschluss .

Im lässt sich anschaulich die Aussage treffen, dass eine gleichmäßig stetige Funktion (mit Werten in ) keine Polstellen besitzen kann. Wie sollte sie auch, lässt sie sich doch - wie bereits dargestellt - stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen. Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht möglich.

Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]