Satz von Heine

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Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen[1] und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.[2]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Heine besagt:

Ist eine Funktion im kompakten Intervall stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.
Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen existiert ein derart, dass für zwei beliebige Stellen und aus dem Intervall mit gilt:

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein und zu jedem Punkte , so dass

und

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge , deren Grenzwert im Intervall enthalten ist. Dieser ist wegen

ebenfalls Grenzwert der Folge . Aus der Stetigkeit von folgt und . Daher gibt es ein , so dass und für alle . Daraus folgt nun

für alle ,

im Widerspruch zu für alle . Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung auf kompakte metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Ist ein kompakter metrischer Raum, ein metrischer Raum und stetig, so ist gleichmäßig stetig.

Weitere Beweisskizze für metrische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich - etwa nach Otto Forster[3] - auch beweisen unter Zugrundelegung der Heine-Borel-Eigenschaft - und zwar ohne Widerspruchsbeweis!

Dieser Beweis ist sizzierbar wie folgt:

Zu dem kompakten metrischer Raum (mit der Metrik ), dem metrischen Raum (mit der Metrik ) und der stetigen Abbildung fixiert man ein beliebiges . Hierzu ist das für den Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit benötigte zu bestimmen.

Dies gewinnt man, indem man zunächst die Stetigkeitseigenschaft von heranzieht und aus ihr zu jedem ein festlegt derart, dass für mit stets erfüllt ist.

Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene -Überdeckung . Wegen der Kompaktheit von ergibt sich infolge der Heine-Borel-Eigenschaft, dass schon endlich viele dieser Umgebungen überdecken, etwa für ein gewisses .

Schließlich setzt man:

.

Den Nachweis der in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung führt man unter Anwendung der Dreiecksungleichung.

Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der heinesche Satz lässt sich über die kompakten metrischen Räume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffräume ausdehnen. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt. Deren Nachbarschaftssystem besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen im zugehörigen Produktraum , wobei die in offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden, wodurch sogar eine vollständige uniforme Struktur gegeben ist.[4][5]

Es gilt also:[6][7]

Eine stetige Abbildung des kompakten Hausdorffraums in den uniformen Raum ist stets auch gleichmäßig stetig.

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Satz von Heine gewinnt man einen Fortsetzungssatz:[6][7]

Ist eine dichte Teilmenge des kompakten Hausdorffraums und ist eine Abbildung von in den separierten und vollständigen uniformen Raum , so ist stetig und dabei fortsetzbar zu einer stetigen Abbildung auf ganz genau dann, wenn - bezüglich der von auf induzierten uniformen Struktur[8] - gleichmäßig stetig ist.

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion , ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu kein , das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich beliebig, so gibt es mit . Dann folgt

,

aber

.

Also kann nicht gleichmäßig stetig sein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicolas Bourbaki: General Topology (= Elements of Mathematics. Part I). Addison-Wesley Publishing (u. a.), Reading MA (u. a.) 1966 (MR0205210).
  • Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn, gewöhnliche Differentialgleichungen (= Vieweg Studium). 6., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-47231-6.
  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. E. Heine: Die Elemente der Funktionenlehre. Journal für die Mathematik von C.W. Borchardt, LXXIV:172-188, Berlin 1872
  2. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.
  3. Otto Forster: Analysis 2. 2005, S. 34
  4. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 128 ff
  5. Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I 1966, S. 198 ff
  6. a b Schubert, op. cit., S. 129
  7. a b Bourbaki, op. cit., S. 201
  8. Das Nachbarschaftssystem dieser auf induzierten uniformen Struktur rührt her von der Inklusionsabbildung und besteht aus den Schnittmengen von mit den Nachbarschaften aus (Schubert, op. cit., S. 110).