Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder ) ist ein Konzept der Mathematik , das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit .
Sei
U
⊂
R
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} }
offen und
0
<
α
≤
1
{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
. Eine Abbildung
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }
heißt hölderstetig zum Exponenten
α
{\displaystyle \alpha }
genau dann, wenn eine positive reelle Zahl
C
{\displaystyle C}
existiert, so dass für alle
x
,
y
∈
U
{\displaystyle x,y\in U}
gilt:
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
≤
C
|
x
−
y
|
α
{\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y\vert ^{\alpha }}
.
Allgemeiner heißt eine Funktion
f
:
Ω
⊂
E
→
F
{\displaystyle f\colon \Omega \subset E\rightarrow F}
zwischen zwei metrischen Räumen
(
E
,
d
E
)
{\displaystyle (E,d_{E})}
und
(
F
,
d
F
)
{\displaystyle (F,d_{F})}
hölderstetig mit Exponent
α
{\displaystyle \alpha }
und Konstante
C
{\displaystyle C}
, falls für alle
x
,
y
∈
Ω
{\displaystyle x,y\in \Omega }
d
F
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
C
(
d
E
(
x
,
y
)
)
α
{\displaystyle d_{F}(f(x),f(y))\leq C(d_{E}(x,y))^{\alpha }}
gilt.
Für
0
<
α
≤
1
{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
ist die Funktion
f
:
[
0
,
∞
[
→
R
{\displaystyle f\colon {[0,\infty [}\rightarrow \mathbb {R} }
mit
f
(
x
)
=
x
α
{\displaystyle f(x)=x^{\alpha }}
hölderstetig zum Exponenten
α
{\displaystyle \alpha }
mit Konstante
C
=
1
{\displaystyle C=1}
, denn für
0
<
x
<
y
{\displaystyle 0<x<y}
ergibt sich
1
−
x
α
y
α
≤
1
−
x
y
≤
(
1
−
x
y
)
α
{\displaystyle 1-{\frac {x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\leq 1-{\frac {x}{y}}\leq {\bigg (}1-{\frac {x}{y}}{\bigg )}^{\alpha }}
,
also
|
x
α
−
y
α
|
≤
|
x
−
y
|
α
{\displaystyle \vert x^{\alpha }-y^{\alpha }\vert \leq \vert x-y\vert ^{\alpha }}
.
Die Definition ergibt im Spezialfall
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
Hölderexponenten außerhalb von
(
0
,
1
]
{\displaystyle (0,1]}
werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig : Setze für gegebenes
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
etwa
δ
:=
(
ε
/
C
)
1
/
α
{\displaystyle \delta :=(\varepsilon /C)^{1/\alpha }}
. Dann folgt aus
|
x
−
y
|
≤
δ
{\displaystyle |x-y|\leq \delta }
wie gewünscht
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
≤
ε
{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon }
.
Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei
a
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle a\in (0,1)}
eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall
[
0
,
a
]
{\displaystyle [0,a]}
gemäß
f
(
x
)
:=
{
−
1
/
ln
x
für
0
<
x
≤
a
0
bei
x
=
0
{\displaystyle f(x):=\left\{{\begin{array}{cl}-1/\ln x&{\text{für }}0<x\leq a\\0&{\mbox{bei }}x=0\end{array}}\right.}
definierte Funktion
f
{\displaystyle f}
ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten
C
>
0
{\displaystyle C>0}
und
α
∈
(
0
,
1
]
{\displaystyle \alpha \in (0,1]}
mit
f
(
x
)
≤
C
x
α
{\displaystyle f(x)\leq Cx^{\alpha }}
für alle
x
∈
(
0
,
a
]
{\displaystyle x\in (0,a]}
, also insbesondere
C
≥
lim
x
↓
0
−
x
−
α
ln
x
=
lim
x
↓
0
α
x
−
α
{\displaystyle C\geq \lim \limits _{x\downarrow 0}{\frac {-x^{-\alpha }}{\ln x}}=\lim \limits _{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha }}
laut Regel von de L’Hospital , was einen Widerspruch ergibt.
Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis . Springer, Berlin 2002.