Karo (Mengenlehre)

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(Karo) ist ein "kombinatorisches" Prinzip in der Mengenlehre.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede unendliche Kardinalzahl ist eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

  • es gibt eine Folge mit folgenden Eigenschaften:
  • für alle gilt
  • für alle ist die Menge eine stationäre Teilmenge von .

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip es ermöglicht, Teilmengen von zu "erraten". Während die Anzahl der Teilmengen von (also die Kardinalität der Potenzmenge von ) zwar nach dem Satz von Cantor größer als ist, postuliert , dass es eine transfinite Folge der Länge gibt, die alle Teilmengen von „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt schreibt man oft nur .

Zusammenhang mit CH und GCH[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus die Gleichung . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus zusammen mit kann man schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also für alle mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.