In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl
eine zusammengesetzte Zahl
mit der Eigenschaft, dass alle zu
teilerfremden
die Kongruenz
erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von
wird mit
bezeichnet.
Die Spezialfälle
sind die Carmichael-Zahlen.
Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl, indem man
setzt. Mit
ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.
Beispiele
Beispiel 1:
Sei
und
Dann sind die Zahlen
und
zu
teilerfremd. Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}1^{12-4}&=&1&&&\equiv &1{\pmod {12}}\\5^{12-4}&=&390625&=&32552\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\7^{12-4}&=&5764801&=&480400\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\\11^{12-4}&=&214358881&=&17863240\cdot 12+1&\equiv &1{\pmod {12}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b70a322768b3815e7c4d3762d915d153a00de6)
Somit erfüllen alle zu
teilerfremden Zahlen
die Kongruenz
.
Also ist
eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt
.
Beispiel 2:
Sei
und
Dann sind die Zahlen
und
zu
teilerfremd. Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}1^{14-4}&=&1&&&&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\\3^{14-4}&=&59049&=&4217\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\5^{14-4}&=&9765625&=&697544\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\9^{14-4}&=&3486784401&=&249056028\cdot 14&+9&\equiv &\quad 9&{\pmod {14}}\\11^{14-4}&=&25937424601&=&1852673185\cdot 14&+11&\equiv &\quad 11&{\pmod {14}}\\13^{14-4}&=&137858491849&=&9847035132\cdot 14&+1&\equiv &\quad 1&{\pmod {14}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e6a3b881744dcbd80d71b2e84841f75f064b50)
Somit erfüllen nicht alle zu
teilerfremden Zahlen
die Kongruenz
.
Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei
abbrechnen können. Also ist
keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt
.
Beispiel 3:
Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen
bis
:
n |
Kn
|
1 |
{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … } |
Folge A002997 in OEIS
|
2 |
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … } |
Folge A050990 in OEIS
|
3 |
{9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … } |
Folge A033553 in OEIS
|
4 |
{6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … } |
Folge A050992 in OEIS
|
Literatur