Knotenkomplement

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In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das Knotenkomplement der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kleeblattschlinge

Es sei ein Knoten. (Der Fall von Knoten im euklidischen Raum lässt sich auf den ersten Fall zurückführen, indem man die Einpunktkompaktifizierung betrachtet.) Das Komplement des Knotens ist dann die offene Mannigfaltigkeit .

Häufig betrachtet man statt der offenen Mannigfaltigkeit auch die wie folgt konstruierte Mannigfaltigkeit mit Rand. Sei eine Tubenumgebung von , also homöomorph zum Volltorus. Dann ist

eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist.

Analog kann man das Komplement von Verschlingungen definieren.

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist die Knotengruppe, sie kann mit dem Wirtinger-Algorithmus präsentiert werden. Für Primknoten wird das Knotenkomplement durch die Knotengruppe eindeutig bestimmt.[1]

Die Homologiegruppen des Knotenkomplements hängen nicht vom Knoten ab, es gilt

.

(Weil und homotopie-äquivalent sind, hängen diese Invarianten nicht davon ab, welche der beiden obigen Definitionen verwendet wird.)

Satz von Gordon-Luecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein von Gordon und Luecke bewiesener Satz besagt, dass Knoten durch ihr Komplement eindeutig bestimmt sind: Wenn homöomorph zu ist, dann sind die Knoten und isotop.[2] Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heinrich Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 1–118.
  • C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), no. 1, 83–87.
  • Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-86025-338-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wilbur Whitten: Knot complements and groups. Topology 26 (1987), no. 1, 41–44.
  2. C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.