Torus

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Torus (Begriffsklärung) aufgeführt.
Torus

Ein Torus (Plural Tori; von lateinisch torus ‚Wulst‘) ist ein wulstartig geformtes geometrisches Gebilde, das mit der Form eines Rettungsrings, Schwimmreifens oder Donuts verglichen werden kann. Genauer werden drei verwandte Begriffe unterschieden:

Eingebetteter Torus
Eine Fläche, nämlich die Oberfläche eines Volltorus (siehe unten) (beispielsweise eines Reifens oder Donuts) als Teilmenge des dreidimensionalen Raums.
Flacher Torus
Aus topologischer Sicht das Gleiche wie ein eingebetteter Torus, jedoch nicht gekrümmt und deshalb nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raums beschreibbar, sondern als Quotientenraum der Ebene oder als kartesisches Produkt zweier Kreise.
Volltorus
Ein Körper, nämlich ein gefüllter, eingebetteter Torus (siehe oben) (beispielsweise ein Reifen) als Teilmenge des dreidimensionalen Raums.

Eingebettete Tori[Bearbeiten]

Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand r haben, wobei r<R ist.

Toruskoordinaten[Bearbeiten]

Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d. h. sie besitzt ein Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Die Oberfläche kann man sich vorstellen als durch einen Kreis entstanden, der um eine Achse rotiert wird, die in der Kreisebene liegt. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Der Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2\pi.

Torus 3d.png

Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist (\vec X ist hier der Ortsvektor)

\vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}

Man gewinnt diese Darstellung z. B. aus den Parametrisierungen des Ortsvektors in der xy-Ebene und xz-Ebene.

Volumen und Oberfläche[Bearbeiten]

Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche mittels der guldinschen Regel berechnen. Ganz simpel gesehen ist ein Torus ein vollständig gekrümmter Kreiszylinder. Dessen Mantelfläche und Volumen verändern sich während des „knickfreien Biegens“ nicht, denn die Innenseite wird dabei um den gleichen Faktor linear gestaucht, um den die Außenseite gedehnt wird – entsprechend den Abständen der rechteckigen Zylinderquerschnitte zum großen Zylinderquerschnitt, der durch die Schwerpunkte der Zylinderkreise verläuft und parallel zur Torusachse ist (siehe Prinzip von Cavalieri).

Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten

\vec n \ = \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dt} \ \times \ \frac{\mathrm d\vec X}{\mathrm dp} \ = \  \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix} \cdot r \cdot(r \cdot \cos(p) + R)

Das Flächenelement ist

\mathrm dA = |\vec n| \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp = r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dt \cdot \mathrm dp

Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:

A_O = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \mathrm dA = 4\pi^2 \cdot R \cdot r { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} }

Eine Teilfläche des Torus erhält man durch Integration in den Grenzen t_1 bis t_2 (horizontal) und p_1 bis p_2 (vertikal):

A_O = \int_{t_1}^{t_2} \int_{p_1}^{p_2} r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot \mathrm dp \cdot \mathrm dt

ergibt

A_O = (t_2 - t_1) \cdot \left[r^2 \cdot(\sin(p_2) - \sin(p_1)) + r \cdot R \cdot (p_2 - p_1)\right]

Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzt man statt r die Variable r' ein und lässt sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:

V = \int_{r'=0}^r A_O(r') \mathrm dr' = 4\pi^2 \cdot R \cdot \int_{r'=0}^r r' \mathrm dr' = 2\pi^2 \cdot R \cdot r^2

Das Torusvolumen ist das Integral der Oberfläche (über r).

Außenvolumen des Spindeltorus[Bearbeiten]

Ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (R,0) hat die Gleichung f(x)=\sqrt{r^2-(x-R)^2} und zeigt je nach Größe von -r < R \le r im ersten Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verschiedene Bögen. Lässt man diese Bögen um die senkrechte Koordinatenachse rotieren, ergeben sich halbe Spindeltori, die sich durch Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse zu vollständigen Spindeltori ergänzen lassen. Bei -r < R < 0 zeigt sich ein Spindeltorus mit zwei Spitzen, bei R = 0 die Entartung zur Kugel und bei 0 < R \le r die Einbuchtungen (Apfelform), die ab r < R das Torusloch öffnen. Das Volumenelement ist \mathrm dV=\mathrm dh\cdot \mathrm d\rho \cdot \rho \cdot \mathrm d\phi , wobei \rho der Abstand von der Drehachse, h die Höhe und \phi den Rotationswinkel bezeichnen. Aufgrund der vorhandenen Zylindersymmetrie findet man das Außenvolumen im Bereich -r < R \le r als

V =2\int_{\text{halber Torus}} \mathrm dV =4\pi \int_{0}^{R+r} \rho f(\rho)\mathrm{d}\rho=\frac{2\pi}{3}(2r^2+R^2)\sqrt{r^2-R^2}+\pi r^2 R(\pi+2\arctan(\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}})).

Ab  R \ge r ist dann das Volumen (die Untergrenze im Integral ist nun R - r anstatt 0) V=2\pi^2r^2R. Die Oberfläche ergibt sich auch hier aus der Ableitung des Volumens nach dem Radius r: O=\mathrm dV/\mathrm dr.

Trägheitsmoment eines Volltorus[Bearbeiten]

Das Trägheitsmoment eines Volltorus mit der Dichte \rho bezüglich der z-Achse (Symmetrieachse) kann durch

I = \rho \int_{T} (x^2+y^2) \,\, \mathrm  d^3 x

berechnet werden. Nun kann man die Transformation auf Toruskoordinaten durchführen. Dabei kommt zusätzlich die Jacobi-Determinante ins Integral.

I = \rho \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} |\det J_\text{Torus} | \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^2 \,\,\, \mathrm dr' \mathrm dp \, \mathrm dt = \rho \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \int_{r'=0}^{r} r' \cdot (R+r' \cdot \cos(p))^3 \,\,\, \mathrm dr' \mathrm dp \, \mathrm dt

Mit partiellem Integrieren und der Torusmasse M erhält man:

I =  2  \pi^2  \cdot \rho \cdot R \cdot r^2 \left (\frac{3}{4}  \cdot r^2+R^2 \right)
I = M \cdot \left (\frac{3}{4}  \cdot r^2+R^2 \right)

Algebraische Gleichung[Bearbeiten]

Der Rotationstorus lässt sich auch durch die folgende Gleichung in den Koordinaten x,y,z beschreiben:

(R^2-r^2)^2+2R^2(z^2-x^2-y^2)-2r^2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)^2=0

oder

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0.

Sie lässt sich beispielsweise aus der Gleichung

\left(\sqrt{x^2+y^2}-R \right)^2+z^2 = r^2

herleiten, die sich aus dem Satz des Pythagoras ergibt.

Typen von Tori[Bearbeiten]

Die drei verschiedenen Typen von Tori: Spindeltorus, Horntorus und Ringtorus

Flache Tori[Bearbeiten]

Modell eines flachen Torus: das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.

Ein flacher Torus kann beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen \mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w) für zwei linear unabhängige Vektoren v,w\in\mathbb R^2 beschrieben werden. Im Spezialfall v=(1,0) und w=(0,1) erhält man den Quotienten \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2.

Diese Tori heißen flach, weil ihre Metrik lokal der Metrik der Ebene entspricht und ihre Schnittkrümmung deshalb verschwindet.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen sind (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori.

Torustopologie[Bearbeiten]

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrats mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Volltori[Bearbeiten]

Ein Volltorus ist ein Henkelkörper vom Geschlecht g=1.

Eingebettete Volltori lassen sich wie eingebettete Tori beschreiben, in der oben angegebenen Parameterdarstellung ist lediglich r durch einen Parameter \rho mit Wertebereich 0\leq\rho\leq r zu ersetzen. Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum Produkt D^2\times S^1 der Kreisscheibe mit der Kreislinie.

Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori darstellen, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum S^2 als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.

Eigenschaften des 3-Torus

Höherdimensionale Tori[Bearbeiten]

Beim dreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim vierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen acht gegenüberliegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der n-dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel [0,1]^n, dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als \mathbb R^n/\mathbb Z^n darstellen.

WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png

Das (n+1)-dimensionale „Volumen“ eines n-Torus ist

2 \cdot R \cdot r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)},

die n-dimensionale „Oberfläche“

2 \cdot n \cdot R \cdot r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Torus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Torus – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien