Torus

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Torus (Begriffsklärung) aufgeführt.
Torus

Ein Torus (Plural Tori; von lateinisch torus „Wulst“)[1] ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie und der Topologie. Er ist eine „wulstartig“ geformte Fläche mit einem „Loch“, hat also die Gestalt eines Rettungsrings, Reifens oder Donuts.

Spezielle Beispiele für im dreidimensionalen Raum eingebettete Tori sind die Rotationstori, die Beispiele für Rotationsflächen sind. Man erhält sie, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Es handelt sich also um die Menge der Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand r mit r<R haben. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte Kreisfläche rotieren lässt, erhält man einen Volltorus.

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Rechtecks konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als das topologische Produkt zweier Kreise definiert. Rotationstori liefern eine konkrete (rotationssymmetrische) Realisierung dieser Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum. Für viele Anwendungen in Theoretischer Mathematik und Physik bedeutend ist eine andere Einbettung als flacher Torus in den vierdimensionalen Raum. Diese hat die Krümmung null und die maximal mögliche Symmetrie.

Der Torus ist eine zweidimensionale Fläche. Allgemeiner betrachtet man in der Mathematik auch den n-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

Rotationstorus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Rotationstorus

Ein Rotationstorus ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende Rotationachse erzeugt wird.

Ein Rotationstorus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand r haben, wobei r<R ist. In den kartesischen Koordinaten x,y,z wird er durch die Gleichung

\left(\sqrt{x^2+y^2}-R \right)^2+z^2 = r^2

beschrieben. Man kann in der Torusoberfläche eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man denkt sich den Torus als durch einen Kreis entstanden, der um eine in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Der Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse nennen wir R, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2\pi.

Torus 3d.png

Die Umrechnung von Toruskoordinaten in kartesische Koordinaten ist

 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}

Allgemeine Definition eines (topologischen) Torus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit \mathbb{S}^1 werde der Kreis (oder 1-Sphäre) bezeichnet. Der n-Torus ist dann definiert durch

\mathbb{T}^n := \underbrace{\mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1}_{n\ \text{mal}},

wobei \times das Produkt topologischer Räume ist. Der 2-Torus wird meist einfach Torus genannt.[2]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Struktur einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der n-Torus ist eine topologische Mannigfaltigkeit. Dies folgt aus der Tatsache, dass der n-Torus das topologische Produkt aus n 1-Sphären ist und die 1-Sphäre selbst eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Die 1-Sphäre ist zusätzlich auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und, da das Produkt differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ergibt, ist der n-Torus ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.[3] Die Dimension von \mathbb{T}^n ist gleich n.

Topologische Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenfalls direkt aus der Definition folgt, dass der n-Torus kompakt ist. Außerdem ist er wegzusammenhängend. Im Gegensatz zur n-Sphäre ist der n-Torus für n größer als 1 nicht einfach zusammenhängend.

Die Abbildung q \colon \R^n \to \mathbb{T}^n definiert durch (x_j)_j := (\exp(2 \pi \mathrm{i} x_j))_j ist die universelle Überlagerung des n-Torus.[4]

Lie-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 1-Sphäre, aufgefasst als Kreisgruppe, ist außerdem eine Lie-Gruppe. Da auch das Produkt mehrerer Lie-Gruppen mit der komponentenweisen Multiplikation wieder eine Lie-Gruppe ist, ist auch der n-Torus eine Lie-Gruppe.[5]

Eingebettete Tori[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flache Tori[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Modell eines flachen Torus: Das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.

Da die Kreislinie \mathbb{S}^1 offensichtlich in den \R^2 eingebettet werden kann, kann der n-Torus \mathbb{T}^n := \mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1 \subset \R^{2n} als Teilmenge des euklidischen Raums \R^{2n} aufgefasst werden. Man betrachtet auf \mathbb{T}^n die riemannsche Metrik g, die durch die euklidische Metrik des Raums \R^{2n} auf dem n-Torus induziert wird. Diese Metrik g ist flach, das heißt, der n-Torus ist lokal isometrisch zu einer Umgebung des \R^n.[6] Insbesondere ist seine Schnittkrümmung daher überall konstant null. Da der n-Torus kompakt und somit auch vollständig ist, ist er eine flache Mannigfaltigkeit. Man spricht daher auch von einem flachen n-Torus.

Es gibt neben der oben beschriebenen noch weitere flache Metriken auf dem Torus. Flache 2-Tori können beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen \mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w) für zwei linear unabhängige Vektoren v,w\in\mathbb R^2 beschrieben werden. Im Spezialfall v=(1,0) und w=(0,1) erhält man den Quotienten \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen lassen sich mittels der Weierstraßschen Parametrisierung als \C/L für ein Gitter L\subset \C darstellen und sind dadurch (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori. Der Modulraum der elliptischen Kurven oder äquivalent der flachen 2-Tori ist die sogenannte Modulkurve.

Rotationstori[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Rotationstorus ist ein im \R^3 eingebetteter 2-Torus, der als Menge der Punkte beschrieben werden kann, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand r haben, wobei r<R ist.

Clifford-Tori[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in S^3\subset \R^4 eingebetter Torus. Nach der Identifizierung \R^4=\C^2 und S^3=\left\{(z,w)\in\C^2\colon |z|^2+|w|^2=1\right\} lässt sich der Standard-Cliffordtorus beschreiben als

T:=\left\{(z,w)\in\C^2\colon |z| = |w| =\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\subset S^3.

Weiterhin werden die Bilder von T unter Isometrien der Standard-Metrik A\in O(3)=\operatorname{Isom}(S^3) als Clifford-Tori bezeichnet.

Mittels stereographischer Projektion kann man Clifford-Tori auch als in den \R^3 eingebettete Tori auffassen.

Ein Clifford-Torus ist eine Minimalfläche bzgl. der Standard-Metrik auf der S^3. Die von Brendle bewiesene Lawson-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in die S^3 eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

Volltorus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Volltorus ist ein Henkelkörper vom Geschlecht g=1. Der Rand des Volltorus ist ein Torus.

Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum Produkt D^2\times S^1 der Kreisscheibe mit der Kreislinie. Man kann den Volltorus als rotationssymmetrischen Volltorus in den \R^3 einbetten.

Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori darstellen, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum S^2 als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.

Konstruktion aus einem Quadrat oder Würfel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion zweidimensionaler Tori aus einem Quadrat oder Parallelogramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den Torus erhält man aus einem Quadrat durch Verkleben gegenüberliegender Seiten.
Eigenschaften des 3-Torus

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrats mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. (Diese Konstruktion funktioniert auch mit einem beliebigen Parallelogramm.) Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Asteroids oder Pacman: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Konstruktion höherdimensionaler Tori aus einem Würfel oder Parallelepiped[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim dreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim vierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen acht gegenüberliegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der n-dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel [0,1]^n, dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als \mathbb R^n/\mathbb Z^n darstellen.

Auch hier kann man statt eines n-dimensionalen Würfels ein beliebiges n-dimensionales Parallelepiped verwenden, um durch Identifizieren der Seiten einen n-dimensionalen Torus zu konstruieren.

WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png

Algebraischer Torus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie algebraischer Gruppen wird der Begriff Torus in einem anderen Sinn verwendet. Man bezeichnet dort eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist, als Torus. Zur Abgrenzung spricht man dann von einem algebraischen Torus im Gegensatz zu einem topologischen Torus.

So bezeichnet zum Beispiel in der torischen Geometrie, dem Studium torischer Varietäten, der Begriff Torus üblicherweise einen algebraischen Torus.[7]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Anatole Katok; Vaughn Climenhaga: Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them. Student Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, PA, 2008. ISBN 978-0-8218-4679-7

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Torus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Torus – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Es gibt noch eine Reihe weiterer heute nicht mehr gebräuchlicher historischer Verwendungen des Begriffs Torus: Herder 1854 Pierer 1857 Meyers 1905 Brockhaus 1911 Britannica 1911.
  2. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 8.
  3. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 21.
  4. Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter, Berlin, 2000, ISBN 3-11-016236-9, S. 52.
  5. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 39.
  6. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 289.
  7. Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. 1978, 1.1 Algebraic tori.