Koalgebra

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Dieser Artikel befasst sich mit Koalgebren über Körpern. Für Koalgebren über Komonaden siehe dort.

Eine Koalgebra ist ein Vektorraum, der die zu einer Algebra duale Struktur besitzt. Das heißt anstelle einer Multiplikation, die zwei Elemente auf ihr Produkt abbildet, gibt es eine Komultiplikation, die ein Element auf ein Tensorprodukt abbildet, und anstelle eines neutralen Elements, das die Einbettung des Grundkörpers in die Algebra ermöglicht, gibt es eine Abbildung aus der Koalgebra in den Grundkörper, die Koeins genannt wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Koalgebra über einem Körper ist ein -Vektorraum mit Vektorraumhomomorphismen , genannt Komultiplikation, Koprodukt oder auch Diagonale, und , genannt Koeins, so dass

(Koassoziativität)
(Koeins)

Ein Koalgebrahomomorphismus zwischen zwei Koalgebren C und D ist ein Vektorraumhomomorphismus mit

und .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die kanonische Basis von . Man kann auf eine Koalgebra-Struktur mittels

und

definieren.

ist koassoziativ, da

,

und ist Koeins, da

.

Die Elemente von sind Tensoren zweiter Stufe und können daher als Matrizen dargestellt werden. Die Komultiplikation ist dann

.

Dualität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Multiplikation einer (unitären assoziativen) Algebra ist bilinear, und aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von nach aufgefasst werden. Die Multiplikation ist genau dann assoziativ, wenn das folgende Diagramm kommutiert.

Algebra-Associativity.svg

Eine Algebra besitzt genau dann ein neutrales Element, wenn es einen Vektorraumhomomorphismus gibt, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Algebra-Unit.svg

In diesem Fall gilt .

Eine Koalgebra ist eine Algebra in der zu den Vektorräumen dualen Kategorie . Das heißt, anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung , so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

Coalgebra-Coassociativity.svg

Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung , so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

Coalgebra-Counit.svg

Sweedlernotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über das Koprodukt eines Elements ist im Allgemeinen nur bekannt, dass es in liegt und sich folglich als

darstellen lässt. In der Sweedler-Notation (nach Moss Sweedler) wird dies abgekürzt, indem man symbolisch

schreibt. In summenloser Sweedler-Notation verzichtet man sogar auf das Summensymbol und schreibt

Es ist dabei wichtig zu beachten, dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet. Die Symbole und sind für sich allein bedeutungslos und stehen nicht für bestimmte Elemente aus , denn die Darstellung von ist nicht eindeutig. Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die am besten als "geeignete und für diese Rechnung fest gewählte" Elemente.

Diese Schreibweise ermöglicht es, die Komposition von mit anderen Funktionen als

zu schreiben.

In summenloser Sweedler-Notation ist genau dann Koeins, wenn

.

Das Koprodukt ist genau dann koassoziativ, wenn

.

Dieses Element wird in Sweedler-Notation symbolisch als

und summenlos als

geschrieben.

Durch erneutes Anwenden von entstehen längere Tensorprodukte, die analog geschrieben werden. Dabei muss man die „Indizes“ der hinteren Elemente gegebenenfalls erhöhen:

.

Durch Anwenden von verkürzen sich die Tensorprodukte, die „Indizes“ der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst:

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Christian Kassel: Quantum Groups In: Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6.