Kompaktheitssatz von Cheeger und Gromov

Der Kompaktheitssatz von Cheeger und Gromov, häufig auch als Gromovs Kompaktheitssatz bezeichnet, ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Differentialgeometrie. Er macht eine Aussage über die Gromov-Hausdorff-Konvergenz von Folgen riemannscher Mannigfaltigkeiten mit vorgegebenen Durchmesser-, Volumen- und Krümmungsschranken. Eine unmittelbare Folgerung aus dem Kompaktheitssatz ist Cheegers Endlichkeitssatz. Unter schwächeren Voraussetzungen gilt Gromovs Präkompaktheitssatz.

Präkompaktheitssatz

Zu einer gegebenen Dimension $n$ und gegebenen Konstanten $D$ und $R$ ist die Menge riemannscher $n$-Mannigfaltigkeiten $M$, deren Durchmesser und Ricci-Krümmung die Ungleichungen

$\operatorname {diam} (M)\leq D,Ric(M)\geq R$

erfüllen, eine relativ kompakte Teilmenge im Raum aller metrischen Räume mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Kompaktheitssatz

Wenn es für eine Folge $(M_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ riemannscher Mannigfaltigkeiten Konstanten $D$, $V$, $K$ gibt, so dass für alle $i\in \mathbb {N}$ die Abschätzungen

$\operatorname {diam} (M_{i})\leq D,\quad \operatorname {vol} (M_{i})\geq V,\quad -K\leq \sec(M_{i})\leq K$

gelten, dann konvergiert eine Teilfolge $M_{i_{k}}$ in der Gromov-Hausdorff-Topologie gegen eine riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$. Hierbei bezeichnen $\operatorname {vol} (M_{i})$ das Volumen, $\operatorname {diam} (M_{i})$ den Durchmesser und $\sec(M_{i})$ die Schnittkrümmungen der riemannschen Mannigfaltigkeit $M_{i}$.

Man kann die Teilfolge riemannscher Mannigfaltigkeiten $(M_{i_{k}},g_{i_{k}})$ so wählen, dass es Diffeomorphismen $\phi _{i_{k}}\colon M_{i_{k}}\to M$ gibt, für die $\phi _{i_{k}}^{*}g_{i_{k}}$ gegen die riemannsche Metrik $g$ konvergiert.

Literatur

• Michail Leonidowitsch Gromow: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Auf der Grundlage der französischen Originalausgabe von 1981. Mit Anhängen von M. Katz, P. Pansu und S. Semmes. Übersetzung aus dem Französischen von Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999. ISBN 0-8176-3898-9
• R. E. Greene, H. Wu: Lipschitz convergence of Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 131 (1988), no. 1, 119–141.

Weblinks

• Peter Petersen: Convergence Theorems in Riemannian Geometry
• Robert Haslhofer: Convergence of Riemannian Manifolds