Relativ kompakte Teilmenge

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Eine relativ kompakte Teilmenge (oder präkompakte Teilmenge) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abschwächung des topologischen Begriffs des kompakten Raums.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt relativ kompakt (oder präkompakt), wenn ihr topologischer Abschluss in kompakt ist. selbst muss dafür nicht kompakt sein.

Man schreibt dafür .

Andere Charakterisierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es sei eine (in Anwendungen häufig: offene) Teilmenge. Eine Teilmenge ist genau dann relativ kompakt in , wenn beschränkt ist und der Abschluss von in den Rand von nicht trifft.
  • Es seien allgemeiner eine Teilmenge eines Hausdorffraumes und eine Teilmenge von ; weiter sei der Abschluss von in . Dann ist genau dann relativ kompakt in , wenn kompakt und in enthalten ist.
  • Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann relativ kompakt, falls jede Folge in eine in konvergente Teilfolge hat.

Ein Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel soll eine Menge reeller Zahlen dienen (mit der üblichen euklidischen Topologie). Eine solche Menge reeller Zahlen ist kompakt, wenn jede unendliche Folge von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche Teilfolge enthält, die einer weiteren Zahl „beliebig nahe kommt“, wobei diese weitere Zahl auch zu dieser Menge gehören muss.

Die Menge aller reellen Zahlen zwischen und (aber ohne die Randpunkte und ) ist nicht kompakt, denn die unendliche Folge , , , , ... kommt zwar dem Häufungspunkt beliebig nahe, aber die gehört nicht mehr zu (dasselbe gilt auch für alle Teilfolgen).

Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von in , wenn die Menge aller reellen Zahlen ist? Um zu einer kompakten Menge zu vergrößern, müssen die Häufungspunkte und (dem die Folge , , , , ... beliebig nahe kommt) hinzugenommen werden. Auf diese Weise erhält man den Abschluss von , das ist die Menge aller reellen Zahlen von bis (einschließlich dieser beiden Randpunkte). In der Tat ist dieser Abschluss kompakt, also ist relativ kompakt in .

Während es zu () keine Randpunkte gibt, existiert zur Menge aller positiven reellen Zahlen der Randpunkt (der aber nicht zu gehört). Weil der Abschluss diesen Randpunkt trifft, ist der Abschluss von in gleich der Menge aller reellen Zahlen zwischen (ausschließlich) und (einschließlich). Diese Menge ist aber nicht kompakt (weil ihr wieder der Häufungspunkt fehlt), ist also nicht relativ kompakt in .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der relativen Kompaktheit wird u.a. verwendet

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.