Linearkombination

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Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linearkombinationen endlich vieler Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über dem Körper . Außerdem seien endlich viele Vektoren aus gegeben. Dann nennt man jeden Vektor , der sich in der Form

mit Skalaren schreiben lässt, eine Linearkombination von . Die Faktoren in der obigen Darstellung nennt man die Koeffizienten der Linearkombination. Auch die Darstellung selbst wird als Linearkombination bezeichnet.

Beispiel: Im dreidimensionalen (reellen) Vektorraum ist der Vektor eine Linearkombination der Vektoren und , denn

Die Koeffizienten und sind in diesem Beispiel reelle Zahlen, denn ist ein reeller Vektorraum.

Linearkombinationen beliebig vieler Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linearkombinationen von unendlich vielen Elementen betrachtet man nur unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit nur endlich viele hiervon in der Summe verwendet werden.

Sei ein Körper und ein -Vektorraum. Ferner sei eine durch die Indexmenge indizierte Familie von Vektoren . Hat man dann zu jedem einen Koeffizienten derart, dass fast alle Koeffizienten Null sind, so ist

die zugehörige Linearkombination. Dass nur endlich viele Koeffizienten (und damit Summanden) von 0 verschieden sind, ist erforderlich, damit die Summe überhaupt definiert werden kann. Eine konvergente Reihe ist also im Allgemeinen keine Linearkombination ihrer Summanden.

Linearkombinationen in Linksmoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einer weiter gehenden Verallgemeinerung ergibt der Begriff der Linearkombination bereits einen Sinn, wenn man Ringe statt Körpern und Linksmoduln statt Vektorräumen betrachtet. Viele der aus der linearen Algebra bekannten, einfachen Operationen lassen sich auch in dieser Allgemeinheit durchführen, lediglich das Auflösen nach einem Vektor aus einer Linearkombination kann misslingen, denn dazu muss man mit dem Inversen des Koeffizienten vor diesem Vektor multiplizieren und der Ring enthält diese Inversen in der Regel nicht.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Vektorraum ist jede Linearkombination von Vektor wieder ein Element des Vektorraums. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird ihre lineare Hülle genannt, sie ist stets ein Untervektorraum von . Lassen sich alle Vektoren in als Linearkombination aus einer Menge darstellen, dann ist ein Erzeugendensystem von .

Der Nullvektor eines Vektorraums lässt sich immer als Linearkombination einer gegebenen Menge von Vektoren ausdrücken. Sind alle Koeffizienten einer solchen Linearkombination gleich 0 (Nullelement des zugrundeliegenden Körpers), so spricht man von einer trivialen Linearkombination. Sind die gegebenen Vektoren linear abhängig, so lässt sich der Nullvektor auch als nicht triviale Linearkombination schreiben. Allgemein sind die Koeffizienten einer Linearkombination von Vektoren genau dann eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Linearkombinationen, deren Koeffizienten nicht beliebige reelle oder komplexe Zahlen, sondern ganze Zahlen sind (man spricht dann auch von einer ganzzahligen Linearkombination), spielen beim erweiterten euklidischen Algorithmus eine zentrale Rolle; er liefert eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen als Linearkombination von und :

.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hier betrachteten speziellen Linearkombinationen verwenden eine Ordnung auf dem Koeffizientenkörper, sie beschränken sich daher auf - oder -Vektorräume.

Positive Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Konische Kombination
  • Sind die Koeffizienten der Linearkombination alle größer oder gleich null, so spricht man von einer konischen Linearkombination. Sind die Koeffizienten der Linearkombination alle echt größer als null, so spricht man von einer Positivkombination.

Affine Kombination[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist die Summe der Koeffizienten gleich 1, so handelt es sich um eine Affinkombination. Diese Definition ist für beliebige Linksmoduln möglich.

Konvexkombination[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In reellen Räumen nennt man eine Linearkombination Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und deren Summe 1 ergibt:

.

Dabei kann die Bedingung entfallen, denn sie ergibt sich automatisch aus der Summenbedingung und der Nichtnegativität der Koeffizienten. Mit obigen Bezeichnungen gilt daher in reellen Räumen: Eine Linearkombination ist genau dann eine Konvexkombination, wenn sie konisch und affin ist.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]