Kreissegment

Kreissegment (Kreisabschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.

Kreissegment

Gerry Größen des Kreissegments:

• α = Mittelpunktswinkel
• b = Kreisbogen
• h = Segmenthöhe
• r = Radius
• s = Kreissehne
• A = Segmentfläche
• M = Kreismittelpunkt
• Verbindung A-M-B = Gleichschenkeliges Dreieck

Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel $\alpha$ (hier im Gradmaß) berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, so muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. Wenn der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Formeln zum Kreissegment (alle Winkel in Bogenmaß)
Flächeninhalt	$A\,={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right),$ $A\,={\frac {r\cdot b}{2}}-{\frac {s\cdot (r-h)}{2}},$ $A\,=\,{\frac {{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2h}{s}}\right)\cdot (4h^{2}+s^{2})^{2}+hs\cdot (4h^{2}-s^{2})}{16h^{2}}},$ $A\,=\,r^{2}\arccos {\left(1-{\frac {h}{r}}\right)}-{\sqrt {2rh-h^{2}}}(r-h)$, $A\,=\pi \cdot \,r^{2}\cdot \left({\frac {\alpha }{360}}\right)-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \,r^{2},$ Winkel $\alpha$ in Grad
Radius	$r={\frac {4h^{2}+s^{2}}{8h}}$
Kreissehne	$s=2r\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right),$ $s={\frac {2h}{\tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}=2h\cdot \cot \left({\frac {\alpha }{4}}\right)$, $s=2\cdot {\sqrt {r^{2}-(r-h)^{2}}}$
Segmenthöhe	$h=r-\left(r\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),$ $h=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {s}{2}}\right)^{2}}},$ $h={\frac {s}{2}}\cdot \tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)$
Bogenlänge	$b=r\cdot \alpha ,$ $b=r\cdot \pi \cdot {\frac {\alpha }{180^{\circ }}},$ Winkel $\alpha$ in Grad, $b={\frac {\alpha \cdot (4h^{2}+s^{2})}{8h}},$ $b={\frac {\arctan \left({\frac {2h}{s}}\right)\cdot (4h^{2}+s^{2})}{2h}}$
Mittelpunktswinkel	$\alpha \ =4\cdot \arctan \left({\frac {2h}{s}}\right)$, $\alpha \ =2\cdot \arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right),$ Winkel $\alpha$ in Grad
Kreiszahl	$\pi \,{\dot {=}}\,3{,}1415926536...$
Flächenschwerpunkt	$x_{s}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {r\cdot \sin ^{3}{\frac {\alpha }{2}}}{\alpha -\sin \alpha }}$ $y_{s}=0$ Sonderfall Halbkreis: $x_{s}={\frac {4r}{3\pi }}$

Siehe auch

• Kreis (Geometrie), Kreissektor