Kriterium von Bertrand

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Das Kriterium von Bertrand oder das Bertrandsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine positive reelle Folge und die zugehörige Reihe. Die Folge mit:

habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert :

.

Dann gilt für die Reihe: ist .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei mit . Die Reihe divergiert aufgrund des Integralkriteriums. Setzen wir , so gilt und ist monoton fallend und für und . Des Weiteren ist:

.

Setze nun:

.

Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert folgt für :

,

wobei und gilt. erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer. Aus Letzterem folgt für : .[1]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/Физматгиз], Frankfurt am Main [Moskau] 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 262/732 S. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 23. Dezember 2012] russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai, Erstausgabe: 1959).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Markus Oster, Nicolai Lang; Christian Barth: Lösungen zum Arbeitsblatt I. (PDF-Datei; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2009). 25. Oktober 2009, S. 7/28 S., abgerufen am 23. Dezember 2012.