Lagrange-Dichte

Betrachtet man in der theoretischen Physik das Verhalten von Feldern, so geht die Lagrangefunktion $L$ über in ein Integral über die Lagrange-Dichte ${\mathcal {L}}$, welche die Dichte der Lagrangefunktion in einem Volumenelement beschreibt.

Sie ist definiert als

$L=\int d^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint dx\,dy\,dz\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)$

mit dem betrachteten Feld $\phi (x,y,z,t)$.

Beispiel: Für eine in einer Dimension schwingenden Saite ergibt sich die Lagrange-Dichte zu

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]$

wobei E der Youngsche Modul und $\mu$ die lineare Massendichte sind. Das Feld $\phi =\phi (x,t)$ beschreibt hier die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage.

Die Bewegungsgleichung für Felder

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern. So, wie man die Lagrangegleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrangegleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten. Diese ergibt sich zu

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{i}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \partial _{\mu }\phi _{i}}}=0$

Beispiel:

Für die Lagrange-Dichte der schwingenden Saite gilt damit

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$

woraus sich die Bewegungsgleichung

$E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0$

ergibt.

Die Herleitung der Bewegungsgleichung steht im Artikel: Feldtheorie

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrangedichte statt über die Lagrangefunktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrangefunktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

$S=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}$

definiert. Dann ist die Lagrangefunktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentztransformationen:

${\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })$ mit $x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }$, wobei $\Lambda _{\mu \nu }$ der Lorentz-Transformationstensor ist.