Liouvillesche Zahl

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Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen ganze Zahlen und mit existieren, so dass

Irrationalität und Transzendenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl mit ganzzahligem Zähler und positiv ganzzahligem Nenner gibt es eine positive ganze Zahl mit Wenn nun und ganze Zahlen mit und sind, dann ist

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

(Folge A012245 in OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So ist beispielsweise die Eulersche Zahl transzendent, aber nicht Liouvillesch.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Joseph Liouville: Nouvelle démonstration d'un théoreme sur les irrationalles algébriques, inséré dans le compte rendu de la dernière séance. In: Compte Rendu Acad. Sci. Paris. Band 18, 1844, S. 910–911.
  • S. V. Kotov: Liouville number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]