Mechanische Ähnlichkeit

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Die mechanische Ähnlichkeit ist ein Konzept in der klassischen theoretischen Mechanik des Lagrange-Formalismus. Mithilfe der mechanischen Ähnlichkeit können, ohne dass die Bewegungsgleichungen gelöst werden müssten, die mechanischen Grundgrößen verschiedener Bahnkurven in einem konservativen Kraftfeld zueinander in Relation gesetzt werden. Die Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Konzept ist ein skaleninvariantes Potential, aus dem das Kraftfeld hervorgeht.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein skaleninvariantes Potential vom Grad ; das heißt, es gelte für ein beliebiges . Dann folgt für zwei Bahnkurven in diesem Potential für jede Größe der Dimension der Koordinaten bzw. und jede Größe der Dimension Zeit bzw. :

Daraus abgeleitet folgen für die Relationen zwischen den Geschwindigkeiten , den Energien und den Drehimpulsen :

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lagrangegleichungen sind invariant unter einer Skalierung , wobei die Lagrangefunktion des Systems ist. In der klassischen Mechanik gilt

Skaliert man alle Koordinaten mit dem Faktor und alle Zeiten mit dem Faktor , dann gilt mit der Annahme eines skaleninvarianten Potentials

und somit die Invarianz der Bewegungsgleichungen für

.

Eine Skalierung der koordinatenartigen Größen um einen Faktor erfordert somit eine Skalierung der zeitartigen Größen um einen Faktor , um „dieselbe Physik“ zu erhalten.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der klassischen Physik gibt es drei bekannte Anwendungen der mechanischen Ähnlichkeit: Der freie Fall, der harmonische Oszillator und das Gravitationsgesetz.

  • Für den freien Fall ist . Daraus folgt das Fallgesetz oder : Die Fallzeit eines Körpers ist proportional der Wurzel aus der Fallhöhe.
  • Für den harmonischen Oszillator ist . Daraus folgt das Pendelgesetz : Die Periodendauer des Pendels hängt nicht von seiner Auslenkung ab.
  • Für das Gravitationsgesetz ist . Daraus folgt das dritte Keplersche Gesetz oder : Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Halbachsen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • L. D. Landau und E. M. Lifshitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth-Heinemann, Oxford 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S. 22–24 (englisch).