L-Unverfälschtheit

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Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien ein statistisches Modell sowie eine Verlustfunktion . Es sei

das Risiko des Punktschätzers an der Stelle , gemessen bezüglich

Dann heißt ein Schätzer L-unverfälscht, wenn für alle gilt:

  für alle   .

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit , näher an dem Wert als an jedem weiteren Wert .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gauß-Verlust[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

,

so ist (siehe Lp-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn ein erwartungstreuer Schätzer für ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

,

so ist genau dann L-unverfälscht, wenn Median-unverfälscht ist, das heißt es gilt für alle

  und   .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]