Die Methode von Laplace ist eine Technik, um Laplace-Integrale asymptotisch zu approximieren, das heißt Integrale der Form
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac517bfe1f1ac5576b24da3ebf806cce513b81b)
näherungsweise zu lösen. Dabei können
und
auch als
gewählt werden.
Je größer
ist, desto besser funktioniert die Approximation. Ein Spezialfall dieser Integrale ist die Laplace-Transformation. Die Methode ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt, der sie im Jahre 1774 publizierte.[1]
Eine Verallgemeinerung der Methode auf den komplexen Raum ist die Methode des steilsten Anstiegs (englisch Method of steepest descent).
Aussage
Sei
und es existiere ein striktes Minimum
(somit
und
). Weiter gelte
. Dann gilt
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f70d598ddf993864180b8f61f1b65354b8cda3b)
oder in der Sprache der asymptotischen Analysis
.
Herleitung
Die zugrundeliegende Idee ist folgende:[2]
Der größte Beitrag zum Wert des Integrals stammt von den Punkten in der Umgebung
.
Wir nehmen an, dass
sehr groß ist, und schreiben das Integral um:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf02758cba233624afc9ec7041db4db22f22139c)
Nun bildet man für
die Taylorentwicklung um den Punkt
.
![{\displaystyle g(t)=g(t_{0})+g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}+{\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a71e8bbc469a8a5cbd6dd167d348f3ff9a3e6)
Somit können wir die Approximation machen
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf23f201cf5532ed0e20746a63771a2c4a8c451e)
Daraus folgt
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d744f2f0520aca1236a501481a041b0ddcda2efc)
Nun können wir das Ganze auf ein Gaußsches Integral auf
überführen, da die Werte sich exponentiell von
entfernen.
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514b46c17a2ade596f33b98e00606980a595fa1e)
Quellen
- ↑ Pierre-Simon Laplace: Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. In: Statistical Science. Institute of Mathematical Statistics, abgerufen am 21. Mai 2021.
- ↑ Steve Cohn: Integral Asymptotics: Laplace’s Method. University of Nebraska-Lincoln, abgerufen am 21. Mai 2021.