Fehlerintegral

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Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es wird häufig mit bezeichnet und ist das Integral von bis über die Dichtefunktion der Normalverteilung mit und . Da die gesamte Fläche unterhalb der Dichtekurve (auch Gauß-Glocke genannt) gleich 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Fehlerintegral ist durch

definiert.

Lässt man das Integral erst bei statt bei beginnen, so spricht man von :

Zusammenhang zur gaußschen Fehlerfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Substitution in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus bzw. die Fehlerfunktion

bzw.

herleiten.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Fehlerintegral gibt an, zu welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert in einem gaußverteilten stochastischen Prozess (mit , ) enthalten ist. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert ermittelt werden, indem man bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung angenommen, das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich -5 V...+5 V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5V:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5V:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus

Normierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Normiertheit nachzuweisen, berechnen wir

Auch wenn dieses Integral bis heute nicht elementar integrierbar ist, gibt es inzwischen mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen De Moivres aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von Laplace und Poisson aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.[1] Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson [2]) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:

Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.

Statt längs kartesischer Koordinaten wird über nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution und daraus entspricht, und man erhält schließlich mit dem Transformationssatz

Damit erhalten wir:

siehe auch: Tabelle Standardnormalverteilung

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter M. Lee: The probability integral; University of York, Department of Mathematics, 2011, zuletzt abgerufen 14. Mai 2016.
  2. Denis Bell: Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?; University of North Florida, Department of Mathematics, 2010 (PDF; 248 kB)