Milstein-Verfahren

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachte die Itō-SDGL

mit Anfangsbedingung , wobei den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation für die wahre Lösung auf einem äquidistanten Gitter:

  • Zerlege das Intervall in gleich lange Teilintervalle der Länge :
und .
  • Setze .
  • Definiere für durch

wobei

und die Ableitung von bezüglich ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen unabhängig normal verteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz .

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den obigen Bezeichnungen gilt für und alle , weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8.