Monotoner Operator

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Ein monotoner Operator ist ein Begriff aus der Mathematik aus dem Teilgebiet der nichtlinearen Funktionalanalysis. Sie sind besondere (nicht lineare) Operatoren und sind eine Verallgemeinerung der monotonen reellen Funktionen einer Variable.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein normierter Raum und eine konvexe Teilmenge von . Ein (nicht linearer) Operator heißt monoton, falls für alle die Ungleichung

gilt. Hierbei bezeichnet den topologischen Dualraum von und die duale Paarung .[1]

Diesen Begriff kann man wörtlich auf allgemeinere Raumklassen, insbesondere auf lokalkonvexe Räume, übertragen. Weiter kann dieser Begriff auf mengen-wertige Funktionen ausgedehnt werden. Eine solche Funktion heißt dann monoton, falls für alle und die Ungleichung

gilt.[2]

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des monotonen Operators hat viele Anwendungen in der nichtlinearen Funktionalanalysis, insbesondere bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heinz H. Bauschke & Patrick L. Combettes: Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. Springer New York, New York, NY 2011, ISBN 978-1-4419-9466-0.
  • R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-9397-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-9397-1, S. 37.
  2. Regina S. Burachik, Alfredo N. Iusem: Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators, Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-69755-0
  3. Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Kap 3.