Normalordnung

In der Quantenfeldtheorie bezeichnet die Normalordnung (auch Wick-Ordnung oder Normalprodukt) den Zustand, in welchem alle Erzeugungsoperatoren links der Vernichtungsoperatoren stehen. Analog wird die Antinormalordnung definiert, wenn die Vernichtungsoperatoren links der Erzeugungsoperatoren stehen.

Notation

Die Notation ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ bezeichnet die Normalordnung von ${\hat {O}}$, wobei ${\hat {O}}$ ein beliebig angeordnetes Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (oder Quantenfeldern) ist. Alternativ wird auch die Notation ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ benutzt.

Bosonen

Bei Verwendung der bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird die folgende Notation verwendet:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: Erzeugungsoperator.
• ${\hat {b}}$: Vernichtungsoperator.

Diese erfüllen die typischen Kommutatorrelationen für Bosonen.

Beispiele

1. Das einfachste Beispiel ist ${\mathopen {:}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\mathopen {:}}$:

${:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.$

Hier wird ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ nicht verändert, weil der Ausdruck bereits in der Normalordnung vorliegt. Der Erzeugungsoperator ${\hat {b}}^{\dagger }$ steht bereits links des Vernichtungsoperator ${\hat {b}}$.

2. Ein interessanteres Beispiel ist die Normalordnung von ${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.$

Hier wird durch die Normalordnungs-Operation der Ausdruck umgeordnet, sodass ${\hat {b}}^{\dagger }$ links von ${\hat {b}}$ steht.

Diese beiden Ergebnisse können zusammen mit den oben genannten Kommutatorrelationen zu

${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}+1={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}+1.$

oder

${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }-{:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}=1.$

zusammengefasst werden. Diese Gleichung wird bei der Definition der Kontraktionen im Wick-Theorem benutzt.

3. Falls mehrere Operatoren beteiligt sind, so ergibt sich:

${:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}{\hat {b}}^{4}.$

4. Ein einfaches Beispiel zeigt, dass die Normalordnung keine lineare Operation ist:

${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={:}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}\neq {:}1{:}+{:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$

5. Wenn mehrere Bosonen beteiligt sind, so ergibt sich:

1. ${:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}$
2. ${:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}$
3. ${:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$
4. ${:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$
5. ${:}{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$

Fermionen

Einzelne Fermionen

Bei Verwendung von Fermionen werden die Operatoren

• ${\hat {f}}^{\dagger }$: Fermionischer Erzeugungsoperator,
• ${\hat {f}}$: Fermionischer Vernichtungsoperator

benutzt. Diese erfüllen die typischen Antikommutatorrelationen für Fermionen:

$\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1$

wobei $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ den Antikommutator definiert. Diese können umgeschrieben werden zu

${\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}^{\dagger }=0$

${\hat {f}}{\hat {f}}=0$

${\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.$

Um die Normalordnung für Fermionen zu definieren muss die Anzahl der Vertauschungen beachtet werden, da für jede Vertauschung ein Minuszeichen auftritt.

Beispiele

1. Zu Beginn nochmals der einfachste Fall:

${:}{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{:}={\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}$

Es liegt bereits eine Normalordnung vor. Umgekehrt wird jedoch aufgrund der Vertauschung beider Operatoren ein Minuszeichen eingeführt:

${:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}$

Dies kann zusammen mit den Antikommutatorrelationen benutzt werden um

${\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}=1+{:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}$

oder

${\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }-{:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=1$

zu zeigen. Auch diese Gleichung wird im Wick-Theorem benutzt, um die Kontraktion einzuführen.

2. Die Normalordnung jedes komplizierten Falls ergibt Null, da mindestens ein Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator zweimal auftritt. Beispielsweise:

${:}{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {f}}=0$

Mehrere Fermionen

Bei der Verwendung von $N$ verschiedenen Fermionen gibt es $2N$ Operatoren:

• ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$: der Erzeugungsoperator des $i$-ten Fermions.
• ${\hat {f}}_{i}$: der Vernichtungsoperator des $i$-ten Fermions.

Wobei $i=1,\ldots ,N$.

Diese erfüllen die Kommutatorrelationen:

$\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}$

wobei $i,j=1,\ldots ,N$ und $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Dies kann umgeschrieben werden zu:

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }{\hat {f}}_{i}^{\dagger }$

${\hat {f}}_{i}{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}{\hat {f}}_{i}$

${\hat {f}}_{i}{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }{\hat {f}}_{i}.$

Beispiele

1. Für zwei verschiedene Fermionen ($N=2$) ergibt sich

${:}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}$

Da der Ausdruck bereits in Normalordnung vorliegt, ändert sich nichts.

${:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{:}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}$

Hier muss ein Minuszeichen eingefügt werden, da die Ordnung zweier Operatoren vertauscht wurde.

${:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}$

Anders als im bosonischen Fall spielt hier die Reihenfolge, in welcher die Operatoren aufgeschrieben werden, eine Rolle.

2. Bei drei verschiedenen Fermionen ($N=3$) ergibt sich:

${:}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}$

${:}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{:}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}$

${:}{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }{\hat {f}}_{2}{\hat {f}}_{3}$

Literatur

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, Springer Berlin Heidelberg, 2009