Pascalsches Simplex

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Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.[1]

Zum Begriff[Bearbeiten]

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension d (d\geq 1 natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient \binom{n}{k_1,\ldots,k_d} zuordnen (n, k_1,\ldots,k_{d-1} sind die jeweiligen Koordinaten, k_d ergibt sich durch n-k_1-\ldots-k_{d-1}). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein d-dimensionales, in n-Richtung unbeschränktes, „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die n-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes n) für n>0 lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für n-1) berechnen: \binom{n}{k_1,\ldots,k_d}=\binom{n-1}{k_1-1,\ldots,k_d}+\binom{n-1}{k_1,k_2-1,\ldots,k_d}+\ldots+\binom{n-1}{k_1,\ldots,k_d-1}. Auf der Ebene 0 ist der einzige Eintrag eine 1, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
  • Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt  d^{n-1} .
  • Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch \binom{n}{k_1,...,k_{d-1},0}=\binom{n}{k_1,...,k_{d-1}} ausdrücken.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.