Pascalsches Simplex

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Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.[1]

Zum Begriff[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension ( natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient zuordnen ( sind die jeweiligen Koordinaten, ergibt sich durch ). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein -dimensionales, in -Richtung unbeschränktes, „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die -te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes ) für lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für ) berechnen: . Auf der Ebene ist der einzige Eintrag eine , aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
  • Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt .
  • Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ausdrücken.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.